Use a derivada Implicita
a) 2 y+x^{2}+y^{2}=2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \frac{dy}{dx} usando derivada implícita na relação
2y + x^2 + y^2 = 2x.
Aqui vamos usar a regra da soma, a regra do produto (no caso de y^2) e lembrar que y é função de x, então \frac{d}{dx}(y)=y'.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • \frac{d}{dx}(2y)=2\,y'
  • \frac{d}{dx}(x^2)=2x
  • \frac{d}{dx}(y^2)=2y\,y'
  • \frac{d}{dx}(2x)=2
Portanto, obtemos
2\,y' + 2x + 2y\,y' = 2.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
(2 + 2y)\,y' + 2x = 2 \quad\Longrightarrow\quad (2 + 2y)\,y' = 2 - 2x.

Passo 4

Isolando y':
y' = \frac{2 - 2x}{2 + 2y} = \frac{2(1 - x)}{2(1 + y)} = \frac{1 - x}{1 + y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - x}{1 + y}.

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