Exercício 9: Considere a partícula com posição
\vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right), \quad t \geq 0
a) Determine os vetores velocidade v(t) e aceleração a(t).
b) Calcule |v(t)| e interprete o resultado.
c) Determine a aceleração tangencial e a aceleração normal no instante t=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a trajetória plana
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr),\quad t\ge0
e queremos:
  1. o vetor velocidade \vec{v}(t) e o vetor aceleração \vec{a}(t);
  2. o módulo da velocidade \lvert\vec{v}(t)\rvert e sua interpretação;
  3. a aceleração tangencial a_{t} e a aceleração normal a_{n} no instante t=0.
Conteúdo usado: derivação de curvas paramétricas, definição de velocidade e aceleração, cálculo de módulo de vetor, e decomposição da aceleração em componentes tangencial e normal.

Passo 2

Derivamos componente a componente para achar \vec{v}(t) e depois \vec{a}(t). \bullet Para x(t)=e^{t}\cos t temos
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) =e^{t}\cos t - e^{t}\sin t =e^{t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr). \bullet Para y(t)=e^{t}\sin t temos
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr) =e^{t}\sin t + e^{t}\cos t =e^{t}\bigl(\sin t + \cos t\bigr).
Assim
\vec{v}(t) =e^{t}\bigl(\cos t - \sin t,\;\sin t + \cos t\bigr).
Agora derivamos \vec{v}(t) para obter \vec{a}(t). Para a componente v_{x}(t)=e^{t}(\cos t-\sin t), a derivada é
v_{x}'(t) =e^{t}(\cos t-\sin t)+e^{t}(-\sin t-\cos t) = -2\,e^{t}\sin t.
Para v_{y}(t)=e^{t}(\sin t+\cos t), a derivada é
v_{y}'(t) =e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t) = 2\,e^{t}\cos t.
Logo
\vec{a}(t) =\bigl(-2\,e^{t}\sin t,\;2\,e^{t}\cos t\bigr) =2\,e^{t}\bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr).

Passo 3

Calculamos o módulo da velocidade:
\lvert\vec{v}(t)\rvert =e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}.
Observando que
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2} =2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2,
vem
\lvert\vec{v}(t)\rvert =e^{t}\sqrt{2}.
Interpretação: a velocidade cresce exponencialmente em t, pois \lvert\vec{v}(t)\rvert\propto e^{t}.

Passo 4

Para decompor \vec{a} em tangencial a_{t} e normal a_{n}: \bullet a_{t}=\frac{d}{dt}\lvert\vec{v}(t)\rvert. Como \lvert\vec{v}(t)\rvert=\sqrt{2}\,e^{t},
a_{t}(t) =\sqrt{2}\,e^{t} \quad\Longrightarrow\quad a_{t}(0)=\sqrt{2}\,e^{0}=\sqrt{2}. \bullet a_{n}=\sqrt{\lvert\vec{a}\rvert^{2}-a_{t}^{2}}. Primeiro \vec{a}(0)=2(0,1)=(0,2), então
\lvert\vec{a}(0)\rvert=2,
e assim
a_{n}(0) =\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}} =\sqrt{4-2} =\sqrt{2}.

Resposta

a) \displaystyle \vec{v}(t)=e^{t}\bigl(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t\bigr) \displaystyle \vec{a}(t)=2\,e^{t}\bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr) b) \displaystyle \lvert\vec{v}(t)\rvert=\sqrt{2}\,e^{t}, ou seja, a velocidade cresce exponencialmente em t.
c) \displaystyle a_{t}(0)=\sqrt{2},\quad a_{n}(0)=\sqrt{2}.

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