Exercício 9: Considere a partícula com posição
a) Determine os vetores velocidade
e aceleração
.
b) Calcule
e interprete o resultado.
c) Determine a aceleração tangencial e a aceleração normal no instante
.
b) Calcule
c) Determine a aceleração tangencial e a aceleração normal no instante
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a trajetória plana
e queremos:
- o vetor velocidade
e o vetor aceleração ; - o módulo da velocidade
e sua interpretação; - a aceleração tangencial
e a aceleração normal no instante .
Conteúdo usado: derivação de curvas paramétricas, definição de velocidade e aceleração, cálculo de módulo de vetor, e decomposição da aceleração em componentes tangencial e normal.
Passo 2
Derivamos componente a componente para achar
e depois
.
Para
temos
Assim
Agora derivamos
para obter
. Para a componente
, a derivada é
Para
, a derivada é
Logo
Passo 3
Calculamos o módulo da velocidade:
Observando que
vem
Interpretação: a velocidade cresce exponencialmente em
, pois
.
Passo 4
Para decompor
em tangencial
e normal
:
. Como
,
e assim
Resposta
a)
b)
, ou seja, a velocidade cresce exponencialmente em
.
c)