Exercício 10: Uma partícula se move em uma estado estacionário de 1-dimensão se encontra em um estado com função de onda
\psi(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0, & x<-a \\\ A\left(1+\cos \frac{\pi x}{a}\right), & -a \leq x \leq a \\\\ 0, & x>a \end{array}\right.
em que A e a são constantes reais.
a) Essa é uma função de onda fisicamente aceitável? Justifique.
b) Encontre a magnetide de A para que \psi seja normalizada.
c) Calcule \Delta x e \Delta p. Verifique que \Delta x \Delta p \geq \hbar / 2.
Verificação rápida de propriedades necessárias de uma função de onda fisicamente aceitável (sem ainda calcular integrais explícitas):
Deve ser única (single-valued) e finita em todo \mathbb{R}. Aqui \psi é dada por fórmulas finitas em todos os pontos, logo é finita e single-valued.
Deve ser quadrado-integrável (normalizável): \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2dx<\infty. Como \psi(x)=0 fora de [-a,a] e é contínua dentro do intervalo, a integral é um número finito; faremos a integral explicitamente no passo de normalização.
Deve ser contínua (em potenciais finitos a continuidade é exigida). Vamos checar a continuidade em x=\pm a:
Avaliando a partir do interior: para x=a temos \cos(\pi a/a)=\cos\pi=-1, então \psi(a)=A(1-1)=0. De modo similar \psi(-a)=0. Fora do intervalo \psi=0. Logo \psi é contínua em x=\pm a.
Verificação da derivada (opcional para segurança): derivada interna é
Em x=\pm a temos \sin(\pm\pi)=0, então \psi'(\pm a)=0, que coincide com a derivada da função constante zero fora do intervalo. Logo \psi é diferenciável em \pm a (derivada contínua nesses pontos). Portanto todas as condições necessárias estão satisfeitas — falta apenas confirmar que a norma é finita (normalização), o que faremos agora.
Substitua na integral e faça a mudança de variável \theta=\dfrac{\pi x}{a}, então dx=\dfrac{a}{\pi}d\theta e os limites vão de \theta=-\pi a \theta=\pi:
Agora calcule as integrais em [-\pi,\pi]. As integrais dos termos \cos\theta e \cos2\theta sobre um intervalo simétrico [-\pi,\pi] são zero (são funções pares mas com integral nula em [0,\pi] para \cos e \cos2 a soma simétrica cancela), então sobra apenas o termo constante:
Cálculo de \langle x\rangle. Como \psi(x)=A(1+\cos(\pi x/a)) é função par (mesma para x e -x), o densidade de probabilidade |\psi(x)|^2 também é par. O integrando para \langle x\rangle=\int x|\psi(x)|^2dx é, portanto, função ímpar (produto de x, ímpar, por função par), e a integral sobre [-a,a] é zero. Assim
\langle x\rangle=0.
Passo 5
Cálculo de \langle x^2\rangle e \Delta x. Comece por
Fazemos a mudança \theta=\dfrac{\pi x}{a}, com x=\dfrac{a\theta}{\pi}, dx=\dfrac{a}{\pi}d\theta. Então x^2=\dfrac{a^2\theta^2}{\pi^2} e os limites são -\pi a \pi:
Precisamos também de integrales do tipo \int_{-\pi}^{\pi}\theta^2\cos(k\theta)d\theta com k=1,2. Pelo procedimento de integração por partes (duas vezes) encontra-se a fórmula útil (vou mostrar o resultado da aplicação das partes):
Para k=1: \cos\pi=-1, logo \int_{-\pi}^{\pi}\theta^2\cos\theta\,d\theta=-\dfrac{4\pi}{1^2}=-4\pi.
Para k=2: \cos2\pi=1, logo \int_{-\pi}^{\pi}\theta^2\cos2\theta\,d\theta=\dfrac{4\pi}{4}=\pi.
Cálculo de \langle p\rangle. O operador momento em representação x é \hat p=-i\hbar\,\dfrac{d}{dx}. Para função real e par \psi(x), \psi'(x) é ímpar; portanto o integrando \psi^*(x)(-i\hbar)\psi'(x) é função ímpar (produto de função par por função ímpar), e a integral sobre [-a,a] é zero. Assim
\langle p\rangle=0.
Passo 7
Cálculo de \langle p^2\rangle e \Delta p. Uma forma prática é usar
Produto \Delta x\,\Delta p e verificação da desigualdade de Heisenberg:
\Delta x\,\Delta p = \left[a\sqrt{\frac{1}{3}\left(1-\frac{15}{2\pi^2}\right)}\right]\cdot\left[\frac{\hbar\pi}{a\sqrt{3}}\right] =\hbar\frac{\pi}{3}\sqrt{1-\frac{15}{2\pi^2}}.
Valor numérico:
\Delta x\,\Delta p \approx \hbar\cdot 0{,}5134\ldots
Comparando com \hbar/2\approx 0{,}5\hbar, vemos que
\Delta x\,\Delta p \approx 0{,}5134\,\hbar > \frac{\hbar}{2},
portanto a desigualdade de Heisenberg \Delta x\,\Delta p\ge \hbar/2 é satisfeita.
Resposta
(a) Sim. A função é finita e single-valued, contínua em x=\pm a (vale 0 nesses pontos), diferenciável nos pontos de junção e quadrado-integrável (normalizável).
(b) |A|=\dfrac{1}{\sqrt{3a}}.
(c) \displaystyle \Delta x = a\sqrt{\frac{1}{3}\left(1-\frac{15}{2\pi^2}\right)} \ \displaystyle \Delta p = \frac{\hbar\pi}{a\sqrt{3}} \ \displaystyle \Delta x\,\Delta p = \hbar\frac{\pi}{3}\sqrt{1-\frac{15}{2\pi^2}}\approx 0{,}5134\,\hbar \ge \frac{\hbar}{2}.