Verifique que a equação de Schrodinger,
é linear.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a equação de Schrödinger
é linear.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- A função de onda é
. -
é a unidade imaginária. -
é a constante de Dirac reduzida. -
é a massa da partícula. -
é o potencial, função conhecida de e . - A equação relaciona derivadas temporais e espaciais de
e a multiplicação por .
O que será mostrado: que, se
e
são soluções da equação, então qualquer combinação linear
(com
escalares complexos) também é solução — isto é a verificação da linearidade.
Passo 2
Definição e ideia chave (aula curta e prática).
- Um operador linear
acting on funções satisfaz
para quaisquer funções
e quaisquer escalares
(reais ou complexos).
- A equação de Schrödinger pode ser escrita como
ou, rearranjando sinais, qualquer forma equivalente. Mostrar linearidade de
prova que a equação é linear.
Explicação intuitiva: derivadas e multiplicação por um escalar ou por uma função fixa são operações lineares — vamos provar isso passo a passo.
Passo 3
Linearidade da derivada temporal (propriedade usada muitas vezes).
Sejam e
funções suficientemente suaves e
escalares. Então
Sejam
Justificativa: a derivada é uma operação linear porque a derivada do somatório é somatório das derivadas e constantes saem da derivada. Isto vale independentemente de
serem complexos.
Passo 4
Linearidade da derivada espacial de segunda ordem.
Analogamente,
Analogamente,
Novamente, a diferenciação é linear e constantes fatoram para fora.
Passo 5
Linearidade da multiplicação pelo potencial
.
Para dada, a operação de multiplicar por
satisfaz
Para
Isto é trivial: multiplicação por uma função fixa é linear.
Passo 6
Combinação das partes: o operador da equação é soma de operadores lineares.
Os termos que aparecem no lado direito e esquerdo da equação correspondem a operadores lineares:
Os termos que aparecem no lado direito e esquerdo da equação correspondem a operadores lineares:
-
é linear (constante multiplicando a derivada). -
é linear. -
é linear.
A soma (e diferença) de operadores lineares é linear. Logo o operador totaldefinido em Passo 2 é linear:
Passo 7
Verificação direta do princípio da superposição (substituição explícita).
Suponha que e
satisfazem a equação de Schrödinger, isto é,
Suponha que
Considere
. Calcule cada termo da equação para
:
Tempo:
Espaço (segunda derivada):
Potencial:
Somando o lado direito espacial + potencial para
e usando que
satisfazem a equação, obtemos
Pelo que foi escrito para as derivadas temporais (igualdade análoga), o lado esquerdo também se expressa como
Como cada
satisfaz a equação, os termos dentro dos parênteses coincidem, e portanto
Logo
é solução também. Isso demonstra explicitamente a linearidade (princípio da superposição).
Passo 8
Observações finais e interpretação física curta.
- Os escalares
podem ser complexos; a prova não usou que são reais. - Consequência física importante: soluções se somam — é a razão do princípio da superposição em mecânica quântica.
- Respire fundo: a conta é só aplicar propriedades simples (derivada linear, multiplicação linear) e coletar termos — nada mágico, só organização.
Resposta
Sejam
e
soluções da equação de Schrödinger. Então, para quaisquer escalares complexos
, a combinação
também satisfaz
ou seja, a equação de Schrödinger é linear.