Verifique que a equação de Schrodinger,
i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi(x, t)}{\partial x^{2}}+V(x, t) \Psi(x, t),
é linear.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação de Schrödinger
i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi(x, t)}{\partial x^{2}}+V(x, t) \Psi(x, t)
é linear.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • A função de onda é \Psi(x,t).
  • i é a unidade imaginária.
  • \hbar é a constante de Dirac reduzida.
  • m é a massa da partícula.
  • V(x,t) é o potencial, função conhecida de x e t.
  • A equação relaciona derivadas temporais e espaciais de \Psi e a multiplicação por V.
O que será mostrado: que, se \Psi_{1} e \Psi_{2} são soluções da equação, então qualquer combinação linear a\Psi_{1}+b\Psi_{2} (com a,b escalares complexos) também é solução — isto é a verificação da linearidade.

Passo 2

Definição e ideia chave (aula curta e prática).
  • Um operador linear L acting on funções satisfaz
L[a f + b g] = a\,L[f] + b\,L[g]
para quaisquer funções f,g e quaisquer escalares a,b (reais ou complexos).
  • A equação de Schrödinger pode ser escrita como
L[\Psi]\equiv i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} + \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} - V(x,t)\,\Psi = 0,
ou, rearranjando sinais, qualquer forma equivalente. Mostrar linearidade de L prova que a equação é linear.
Explicação intuitiva: derivadas e multiplicação por um escalar ou por uma função fixa são operações lineares — vamos provar isso passo a passo.

Passo 3

Linearidade da derivada temporal (propriedade usada muitas vezes).
Sejam \Psi_{1}(x,t) e \Psi_{2}(x,t) funções suficientemente suaves e a,b escalares. Então
\frac{\partial}{\partial t}\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big) = a\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t}+b\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t}.
Justificativa: a derivada é uma operação linear porque a derivada do somatório é somatório das derivadas e constantes saem da derivada. Isto vale independentemente de a,b serem complexos.

Passo 4

Linearidade da derivada espacial de segunda ordem.
Analogamente,
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big) = a\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}}+b\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}}.
Novamente, a diferenciação é linear e constantes fatoram para fora.

Passo 5

Linearidade da multiplicação pelo potencial V(x,t).
Para V(x,t) dada, a operação de multiplicar por V satisfaz
V(x,t)\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big)=a\,V(x,t)\Psi_{1}+b\,V(x,t)\Psi_{2}.
Isto é trivial: multiplicação por uma função fixa é linear.

Passo 6

Combinação das partes: o operador da equação é soma de operadores lineares.
Os termos que aparecem no lado direito e esquerdo da equação correspondem a operadores lineares:
  • \Psi \mapsto i\hbar\,\partial_{t}\Psi é linear (constante i\hbar multiplicando a derivada).
  • \Psi \mapsto -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\partial_{x}^{2}\Psi é linear.
  • \Psi \mapsto V(x,t)\Psi é linear.
    A soma (e diferença) de operadores lineares é linear. Logo o operador total L definido em Passo 2 é linear:
L[a\Psi_{1}+b\Psi_{2}] = a\,L[\Psi_{1}] + b\,L[\Psi_{2}].

Passo 7

Verificação direta do princípio da superposição (substituição explícita).
Suponha que \Psi_{1} e \Psi_{2} satisfazem a equação de Schrödinger, isto é,
i\hbar\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}}+V\Psi_{1},
i\hbar\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}}+V\Psi_{2}.
Considere \Psi=a\Psi_{1}+b\Psi_{2}. Calcule cada termo da equação para \Psi:
Tempo:
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big) = a\,i\hbar\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t}+b\,i\hbar\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t}.
Espaço (segunda derivada):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\Big(a\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}}+b\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}}\Big) = a\Big(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}}\Big) + b\Big(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}}\Big).
Potencial:
V\Psi = V\big(a\Psi_{1}+b\Psi_{2}\big)=a\,V\Psi_{1}+b\,V\Psi_{2}.
Somando o lado direito espacial + potencial para \Psi e usando que \Psi_{1},\Psi_{2} satisfazem a equação, obtemos
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi = a\Big(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}}+V\Psi_{1}\Big) + b\Big(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}}+V\Psi_{2}\Big).
Pelo que foi escrito para as derivadas temporais (igualdade análoga), o lado esquerdo também se expressa como
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = a\Big(i\hbar\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t}\Big)+ b\Big(i\hbar\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t}\Big).
Como cada \Psi_{j} satisfaz a equação, os termos dentro dos parênteses coincidem, e portanto
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi.
Logo \Psi=a\Psi_{1}+b\Psi_{2} é solução também. Isso demonstra explicitamente a linearidade (princípio da superposição).

Passo 8

Observações finais e interpretação física curta.
  • Os escalares a,b podem ser complexos; a prova não usou que são reais.
  • Consequência física importante: soluções se somam — é a razão do princípio da superposição em mecânica quântica.
  • Respire fundo: a conta é só aplicar propriedades simples (derivada linear, multiplicação linear) e coletar termos — nada mágico, só organização.

Resposta

Sejam \Psi_{1} e \Psi_{2} soluções da equação de Schrödinger. Então, para quaisquer escalares complexos a,b, a combinação \Psi=a\Psi_{1}+b\Psi_{2} também satisfaz
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi,
ou seja, a equação de Schrödinger é linear.

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