Exercício 12: Considere o potencial degrau, ou seja,
V(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0, & \text { se } & x<0 \\\ V_{0}, & \text { se } & x \geq 0 \end{array}\right.
Considere uma partícula quântica vindo da esquerda para a direita com energia E>V_{0}.
a) Encontre as autofunções que descrevem a partícula nessa situação.
b) Utilizando as condições de continuidade, escreve as constantes das autofunções em termos de apenas uma constante.
c) Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão (lembre da densidade de corrente!)
e pede, para uma partícula que vem da esquerda (direção +x) com energia E>V_{0}:
(a) encontrar as autofunções que descrevem a partícula nessa situação;
(b) usando as condições de continuidade, escrever as constantes das autofunções em termos de apenas uma constante;
(c) calcular os coeficientes de transmissão e reflexão (usando a densidade de corrente).
Informações relevantes:
Energia da partícula: E>V_{0}.
Regiões: região I (esquerda) x<0 onde V=0; região II (direita) x\ge0 onde V=V_{0}.
A partícula vem da esquerda, então há uma onda incidente para a direita na região I e possivelmente uma onda refletida para a esquerda; na região II, para a situação física usual assume-se só onda transmitida para a direita (não há onda incidindo de +\infty).]
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo e soluções gerais em cada região.
A equação de Schrödinger independente do tempo para a parte espacial \psi(x) é
onde A é amplitude da onda incidente e B a amplitude da refletida.
Para x\ge 0 (região II, V=V_{0}): solução livre com número de onda k_{2}. Como não há partícula vindo de +\infty, fisicamente mantemos apenas a onda que se propaga para a direita:
\psi_{\text{II}}(x)=C e^{i k_{2} x}.
Observação didática: essas \psi são as partes espaciais das autofunções estacionárias. A solução de tempo completo é \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}. Essas funções não são normalizáveis no sentido L^2 (são estados de espalhamento), mas são as autofunções físicas que descrevem uma corrente de partículas incidentes.
Passo 3
Explicar por que não colocamos uma onda voltando na região II e reforçar o papel das constantes.
Física do problema: a partícula vem da esquerda. Se houvesse uma fonte em +\infty haveria uma onda esquerda-proveniente na região II, mas o enunciado descreve apenas partículas incidindo da esquerda. Assim, impomos que não exista componente e^{-i k_{2} x} em x\ge0. Logo, as constantes independentes são A,B,C. O objetivo da parte (b) é expressar B e C em função de uma única constante (por exemplo A) usando condições de contorno em x=0.
Passo 4
Aplicar as condições de continuidade em x=0 e resolver as equações passo a passo.
Condições de contorno: a função de onda e sua derivada são contínuas em x=0. Isso vem da equação de Schrödinger (potencial sem singularidade delta em x=0). Portanto
Continuidade de \psi em x=0:
\psi_{\text{I}}(0)=\psi_{\text{II}}(0)\quad\Rightarrow\quad A + B = C.
Continuidade da derivada \psi' em x=0:
\psi_{\text{I}}'(0)=\psi_{\text{II}}'(0)\quad\Rightarrow\quad i k_{1}(A - B) = i k_{2} C.
Simplificando o fator i,
k_{1}(A - B) = k_{2} C.
Agora resolvo esse sistema para B e C em termos de A.
Da primeira equação C = A + B. Substituo na segunda:
k_{1}(A - B) = k_{2}(A + B).
Agrupando termos:
k_{1}A - k_{1}B = k_{2}A + k_{2}B.
Passo os termos com B para o lado direito e os termos com A para o esquerdo:
(k_{1}-k_{2})A = (k_{1}+k_{2})B.
Assim
B = \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\,A.
E usando C=A+B,
C = A + \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\,A = \frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\,A.
Essas são as constantes em termos de uma constante A (resposta pedida em (b)). Opcionalmente pode-se escolher a normalização A=1 para obter amplitudes relativas.
Passo 5
Introdução à densidade de corrente e cálculo dos fluxos para ondas planas.
A densidade de corrente quântica (fluxo de probabilidade) para uma função de onda \psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar} é
Para uma onda plana \psi(x)=\tilde{A} e^{i k x} (com \tilde{A} complexo), calcula-se facilmente
j=\frac{\hbar k}{m}|\tilde{A}|^{2},
porque \psi^{*}\psi'=|\tilde{A}|^{2}i k e^{0} e entra o fator 1/(2mi). Importante: o sinal de k indica a direção da corrente (se k>0, corrente para a direita).
Aplicando isso às ondas do problema:
Corrente incidente (onda A e^{i k_{1} x}) é
j_{\text{inc}}=\frac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}.
Corrente refletida (onda B e^{-i k_{1} x}) tem k=-k_{1}, logo
o que está coerente com conservação de probabilidade (nenhuma perda de corrente).
Passo 7
Resumo físico e pequenas observações para a prova.
Para E>V_{0} a partícula sofre reflexão parcial e transmissão com números de onda diferentes em cada região. A diferença de número de onda gera reflexão mesmo sem barreira acima da energia (é efeito de descontinuidade do potencial).
Fórmulas práticas para usar na prova: lembrar de k_{1}=\sqrt{2mE}/\hbar e k_{2}=\sqrt{2m(E-V_{0})}/\hbar e então usar as relações de continuidade para obter B e C em função de A e, por fim, R e T pelas razões de correntes.
Se for pedido, pode-se fixar A=1 para apresentar amplitudes relativas: B=(k_{1}-k_{2})/(k_{1}+k_{2}) e C=2k_{1}/(k_{1}+k_{2}).
Resposta
(a) \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}\) com
\[\psi(x)=\begin{cases} A e^{i k_{1} x}+B e^{-i k_{1} x}, & x<0,\\[6pt] C e^{i k_{2} x}, & x\ge 0, \end{cases} \quad\text{onde}\quad k_{1}=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad k_{2}=\dfrac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}.
(b) Em função de uma constante (A]: B=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\,A,\qquad C=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\,A.