Exercício 12: Considere o potencial degrau, ou seja,
V(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0, & \text { se } & x<0 \\\ V_{0}, & \text { se } & x \geq 0 \end{array}\right.
Considere uma partícula quântica vindo da esquerda para a direita com energia E>V_{0}.
a) Encontre as autofunções que descrevem a partícula nessa situação.
b) Utilizando as condições de continuidade, escreve as constantes das autofunções em termos de apenas uma constante.
c) Calcule os coeficientes de transmissão e reflexão (lembre da densidade de corrente!)

Passo 1

O enunciado dá um potencial degrau
V(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & x<0,\\[4pt] V_{0}, & x\ge 0, \end{array}\right.
e pede, para uma partícula que vem da esquerda (direção +x) com energia E>V_{0}:
  • (a) encontrar as autofunções que descrevem a partícula nessa situação;
  • (b) usando as condições de continuidade, escrever as constantes das autofunções em termos de apenas uma constante;
  • (c) calcular os coeficientes de transmissão e reflexão (usando a densidade de corrente).
Informações relevantes:
  • Energia da partícula: E>V_{0}.
  • Regiões: região I (esquerda) x<0 onde V=0; região II (direita) x\ge0 onde V=V_{0}.
  • A partícula vem da esquerda, então há uma onda incidente para a direita na região I e possivelmente uma onda refletida para a esquerda; na região II, para a situação física usual assume-se só onda transmitida para a direita (não há onda incidindo de +\infty).]

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo e soluções gerais em cada região.
A equação de Schrödinger independente do tempo para a parte espacial \psi(x) é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Numa região onde V é constante, as soluções são combinações de exponenciais complexas (ondas planas). Defino os números de onda
k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\quad\text{(região I)}, \qquad k_{2}=\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}\quad\text{(região II)},ãã
já que E>V_{0} garante k_{2} real.
Portanto as soluções gerais (parte espacial) são:
  • Para x<0 (região I, V=0): combinação de onda incidente para a direita e refletida para a esquerda,
\psi_{\text{I}}(x)=A e^{i k_{1} x}+B e^{-i k_{1} x},
onde A é amplitude da onda incidente e B a amplitude da refletida.
  • Para x\ge 0 (região II, V=V_{0}): solução livre com número de onda k_{2}. Como não há partícula vindo de +\infty, fisicamente mantemos apenas a onda que se propaga para a direita:
\psi_{\text{II}}(x)=C e^{i k_{2} x}.
Observação didática: essas \psi são as partes espaciais das autofunções estacionárias. A solução de tempo completo é \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}. Essas funções não são normalizáveis no sentido L^2 (são estados de espalhamento), mas são as autofunções físicas que descrevem uma corrente de partículas incidentes.

Passo 3

Explicar por que não colocamos uma onda voltando na região II e reforçar o papel das constantes.
Física do problema: a partícula vem da esquerda. Se houvesse uma fonte em +\infty haveria uma onda esquerda-proveniente na região II, mas o enunciado descreve apenas partículas incidindo da esquerda. Assim, impomos que não exista componente e^{-i k_{2} x} em x\ge0. Logo, as constantes independentes são A,B,C. O objetivo da parte (b) é expressar B e C em função de uma única constante (por exemplo A) usando condições de contorno em x=0.

Passo 4

Aplicar as condições de continuidade em x=0 e resolver as equações passo a passo.
Condições de contorno: a função de onda e sua derivada são contínuas em x=0. Isso vem da equação de Schrödinger (potencial sem singularidade delta em x=0). Portanto
  1. Continuidade de \psi em x=0:
\psi_{\text{I}}(0)=\psi_{\text{II}}(0)\quad\Rightarrow\quad A + B = C.
  1. Continuidade da derivada \psi' em x=0:
\psi_{\text{I}}'(0)=\psi_{\text{II}}'(0)\quad\Rightarrow\quad i k_{1}(A - B) = i k_{2} C.
Simplificando o fator i,
k_{1}(A - B) = k_{2} C.
Agora resolvo esse sistema para B e C em termos de A.
Da primeira equação C = A + B. Substituo na segunda:
k_{1}(A - B) = k_{2}(A + B).
Agrupando termos:
k_{1}A - k_{1}B = k_{2}A + k_{2}B.
Passo os termos com B para o lado direito e os termos com A para o esquerdo:
(k_{1}-k_{2})A = (k_{1}+k_{2})B.
Assim
B = \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\,A.
E usando C=A+B,
C = A + \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\,A = \frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\,A.
Essas são as constantes em termos de uma constante A (resposta pedida em (b)). Opcionalmente pode-se escolher a normalização A=1 para obter amplitudes relativas.

Passo 5

Introdução à densidade de corrente e cálculo dos fluxos para ondas planas.
A densidade de corrente quântica (fluxo de probabilidade) para uma função de onda \psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar} é
j(x)=\frac{\hbar}{2mi}\big(\psi^{*}\frac{d\psi}{dx}-\psi\frac{d\psi^{*}}{dx}\big).
Para uma onda plana \psi(x)=\tilde{A} e^{i k x} (com \tilde{A} complexo), calcula-se facilmente
j=\frac{\hbar k}{m}|\tilde{A}|^{2},
porque \psi^{*}\psi'=|\tilde{A}|^{2}i k e^{0} e entra o fator 1/(2mi). Importante: o sinal de k indica a direção da corrente (se k>0, corrente para a direita).
Aplicando isso às ondas do problema:
  • Corrente incidente (onda A e^{i k_{1} x}) é
j_{\text{inc}}=\frac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}.
  • Corrente refletida (onda B e^{-i k_{1} x}) tem k=-k_{1}, logo
j_{\text{ref}}=\frac{\hbar (-k_{1})}{m}|B|^{2}=-\frac{\hbar k_{1}}{m}|B|^{2}.
O módulo do fluxo refletido é |j_{\text{ref}}|=\frac{\hbar k_{1}}{m}|B|^{2}.
  • Corrente transmitida (onda C e^{i k_{2} x}) é
j_{\text{trans}}=\frac{\hbar k_{2}}{m}|C|^{2}.

Passo 6

Definir e calcular os coeficientes de reflexão R e transmissão T.
Os coeficientes são razões de fluxos (probabilidades por unidade de tempo):
  • Coeficiente de reflexão
R=\frac{|j_{\text{ref}}|}{j_{\text{inc}}}=\frac{\dfrac{\hbar k_{1}}{m}|B|^{2}}{\dfrac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}}=\frac{|B|^{2}}{|A|^{2}}.
  • Coeficiente de transmissão
T=\frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}=\frac{\dfrac{\hbar k_{2}}{m}|C|^{2}}{\dfrac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}\frac{|C|^{2}}{|A|^{2}}.
Agora substituo as razões B/A e C/A obtidas antes:
\frac{B}{A}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}},\qquad \frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.
Portanto:
R=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right|^{2}=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2},
já que k_{1},k_{2} são reais positivos.
E
T=\frac{k_{2}}{k_{1}}\left|\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\right|^{2} =\frac{k_{2}}{k_{1}}\frac{4k_{1}^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}} =\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
Verificação rápida (conservação de corrente): calcular R+T:
R+T=\frac{(k_{1}-k_{2})^{2}+4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}} =\frac{k_{1}^{2}+2k_{1}k_{2}+k_{2}^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}=1,
o que está coerente com conservação de probabilidade (nenhuma perda de corrente).

Passo 7

Resumo físico e pequenas observações para a prova.
  • Para E>V_{0} a partícula sofre reflexão parcial e transmissão com números de onda diferentes em cada região. A diferença de número de onda gera reflexão mesmo sem barreira acima da energia (é efeito de descontinuidade do potencial).
  • Fórmulas práticas para usar na prova: lembrar de k_{1}=\sqrt{2mE}/\hbar e k_{2}=\sqrt{2m(E-V_{0})}/\hbar e então usar as relações de continuidade para obter B e C em função de A e, por fim, R e T pelas razões de correntes.
  • Se for pedido, pode-se fixar A=1 para apresentar amplitudes relativas: B=(k_{1}-k_{2})/(k_{1}+k_{2}) e C=2k_{1}/(k_{1}+k_{2}).

Resposta

(a) \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}\) com \[\psi(x)=\begin{cases} A e^{i k_{1} x}+B e^{-i k_{1} x}, & x<0,\\[6pt] C e^{i k_{2} x}, & x\ge 0, \end{cases} \quad\text{onde}\quad k_{1}=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad k_{2}=\dfrac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}.
(b) Em função de uma constante (A]:
B=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\,A,\qquad C=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\,A.
(c) Coeficientes de reflexão e transmissão:
R=\left(\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2},\qquad T=\dfrac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.]

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