Exercício 10. Prove as seguintes afirmações.
A função \operatorname{arcsec}: \mathbb{R} \backslash[-1,1] \rightarrow] 0, \pi\left[\backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\right. é derivável e vale que
\operatorname{arcsec}^{\prime}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y>1 \\frac{-1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y<-1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função \operatorname{arcsec}:\mathbb{R}\setminus[-1,1]\to]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}\) é derivável e que a sua derivada é
\[\operatorname{arcsec}'(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y>1,\\[6pt] \dfrac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y<-1. \end{cases}
Informações dadas e o que se pede:
A função \operatorname{arcsec}\] é o inverso da função \(\operatorname{sec} restrita adequadamente; isto é, para y no domínio dado existe x\in]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} tal que \operatorname{sec} x = y e x=\operatorname{arcsec}(y).
Deve-se provar que \operatorname{arcsec} é derivável em todo \mathbb{R}\setminus[-1,1] e obter explicitamente a fórmula da derivada, com os dois casos y>1 e y<-1.]
Passo 2
Escolha do método: usar a fórmula da derivada da função inversa (ou, equivalentemente, diferenciação implícita). Vou enunciar a fórmula e explicar por que ela se aplica.
Fórmula da derivada da inversa (explicada): se f é diferenciável em um ponto x e f'(x)\neq 0, e f é invertível localmente, então a inversa f^{-1} é diferenciável no ponto y=f(x) e vale
Em ]0,\tfrac{\pi}{2}[ tem-se \operatorname{sec} x>0 e \tan x>0, logo \operatorname{sec} x\tan x>0. Em \,]\tfrac{\pi}{2},\pi[ tem-se \operatorname{sec} x<0 e \tan x<0, logo também \operatorname{sec} x\tan x>0. Em particular \operatorname{sec} x\tan x\neq 0 em todo ]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}.
Como \operatorname{sec}'=\operatorname{sec}\tan é contínua e não se anula nesses dois intervalos, \operatorname{sec} é estritamente monotônica em cada um dos intervalos ]0,\tfrac{\pi}{2}[ e ]\tfrac{\pi}{2},\pi[; portanto \operatorname{sec} é invertível em cada ramo e a inversa é diferenciável nesses ramos por causa da fórmula da inversa.
Para y>1 a inversa escolhe o ramo x\in]0,\tfrac{\pi}{2}[ (pois \operatorname{sec} vai de 1 até +\infty aí). Para y<-1 a inversa escolhe o ramo x\in]\tfrac{\pi}{2},\pi[ (pois \operatorname{sec} vai de -\infty até -1 aí). Assim a definição de \operatorname{arcsec} coincide com essas inversas e a aplicação da fórmula é válida para todo y\in\mathbb{R}\setminus[-1,1].
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivada da inversa à função \operatorname{arcsec}.
Se x=\operatorname{arcsec}(y) então \operatorname{sec} x = y. Pela fórmula da inversa:
Isso cobre todo o domínio \mathbb{R}\setminus[-1,1]. Observação útil: às vezes a fórmula aparece escrita como \operatorname{arcsec}'(y)=\dfrac{1}{|y|\sqrt{y^{2}-1}} combinando sinais, mas isso corresponde a outra convenção de ramo; aqui obtivemos exatamente a forma pedida com os sinais separados para y>1 e y<-1.
Passo 7
Resumo final e checagem rápida (exemplo numérico leve para dar confiança).
note que o sinal final pode coincidir numericamente dependendo da combinação, mas a forma peçawise acima é a expressão correta conforme a escolha dos ramos.