Exercício 10. Prove as seguintes afirmações.
A função \operatorname{arcsec}: \mathbb{R} \backslash[-1,1] \rightarrow] 0, \pi\left[\backslash\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\right. é derivável e vale que
\operatorname{arcsec}^{\prime}(y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y>1 \\frac{-1}{y \sqrt{y^{2}-1}}, & \text { se } y<-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função \operatorname{arcsec}:\mathbb{R}\setminus[-1,1]\to]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}\) é derivável e que a sua derivada é \[\operatorname{arcsec}'(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y>1,\\[6pt] \dfrac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y<-1. \end{cases}
Informações dadas e o que se pede:
  • A função \operatorname{arcsec}\] é o inverso da função \(\operatorname{sec} restrita adequadamente; isto é, para y no domínio dado existe x\in]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} tal que \operatorname{sec} x = y e x=\operatorname{arcsec}(y).
  • Deve-se provar que \operatorname{arcsec} é derivável em todo \mathbb{R}\setminus[-1,1] e obter explicitamente a fórmula da derivada, com os dois casos y>1 e y<-1.]

Passo 2

Escolha do método: usar a fórmula da derivada da função inversa (ou, equivalentemente, diferenciação implícita). Vou enunciar a fórmula e explicar por que ela se aplica.
Fórmula da derivada da inversa (explicada): se f é diferenciável em um ponto x e f'(x)\neq 0, e f é invertível localmente, então a inversa f^{-1} é diferenciável no ponto y=f(x) e vale
(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.
Aqui x=f^{-1}(y). Em palavras: derivada da inversa em y é o recíproco da derivada de f avaliada no ponto inverso.
Vou aplicar essa fórmula com f=\operatorname{sec} restrita ao intervalo apropriado.

Passo 3

Verificar hipóteses para usar a fórmula da inversa (por que a inversa existe e é diferenciável).
  • A função \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x} é diferenciável em todo ]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\} e sua derivada é
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.
  • Em ]0,\tfrac{\pi}{2}[ tem-se \operatorname{sec} x>0 e \tan x>0, logo \operatorname{sec} x\tan x>0. Em \,]\tfrac{\pi}{2},\pi[ tem-se \operatorname{sec} x<0 e \tan x<0, logo também \operatorname{sec} x\tan x>0. Em particular \operatorname{sec} x\tan x\neq 0 em todo ]0,\pi[\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}.
  • Como \operatorname{sec}'=\operatorname{sec}\tan é contínua e não se anula nesses dois intervalos, \operatorname{sec} é estritamente monotônica em cada um dos intervalos ]0,\tfrac{\pi}{2}[ e ]\tfrac{\pi}{2},\pi[; portanto \operatorname{sec} é invertível em cada ramo e a inversa é diferenciável nesses ramos por causa da fórmula da inversa.
  • Para y>1 a inversa escolhe o ramo x\in]0,\tfrac{\pi}{2}[ (pois \operatorname{sec} vai de 1 até +\infty aí). Para y<-1 a inversa escolhe o ramo x\in]\tfrac{\pi}{2},\pi[ (pois \operatorname{sec} vai de -\infty até -1 aí). Assim a definição de \operatorname{arcsec} coincide com essas inversas e a aplicação da fórmula é válida para todo y\in\mathbb{R}\setminus[-1,1].

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada da inversa à função \operatorname{arcsec}.
Se x=\operatorname{arcsec}(y) então \operatorname{sec} x = y. Pela fórmula da inversa:
\operatorname{arcsec}'(y)=\frac{1}{\dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x\Big|_{x=\operatorname{arcsec}(y)}}=\frac{1}{\operatorname{sec}(\operatorname{arcsec}(y))\tan(\operatorname{arcsec}(y))}.
Agora usar que \operatorname{sec}(\operatorname{arcsec}(y))=y. Assim obtemos a expressão intermediária
\operatorname{arcsec}'(y)=\frac{1}{y\;\tan(\operatorname{arcsec}(y))}.

Passo 5

Expressar \tan(\operatorname{arcsec}(y)) em função de y usando a identidade trigonométrica e cuidado com o sinal.
Identidade trigonométrica básica: para todo x em que \operatorname{sec} x e \tan x estão definidas vale
\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Substituindo x=\operatorname{arcsec}(y) e lembrando que \operatorname{sec} x=y
\tan^{2}(\operatorname{arcsec}(y))=y^{2}-1,
portanto
\tan(\operatorname{arcsec}(y))=\pm\sqrt{y^{2}-1}.
Qual sinal escolher? Depende do ramo onde x=\operatorname{arcsec}(y) está:
  • Para y>1 temos x\in]0,\tfrac{\pi}{2}[, onde \tan x>0. Logo
\tan(\operatorname{arcsec}(y))=+\sqrt{y^{2}-1}\quad\text{se }y>1.
  • Para y<-1 temos x\in]\tfrac{\pi}{2},\pi[, onde \tan x<0. Logo
\tan(\operatorname{arcsec}(y))=-\sqrt{y^{2}-1}\quad\text{se }y<-1.

Passo 6

Substituir o valor de \tan(\operatorname{arcsec}(y)) na expressão da derivada e simplificar, obtendo a fórmula pedida.
  • Se y>1:
\operatorname{arcsec}'(y)=\frac{1}{y\cdot\sqrt{y^{2}-1}}.
  • Se y<-1:
\operatorname{arcsec}'(y)=\frac{1}{y\cdot\big(-\sqrt{y^{2}-1}\big)}=\frac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}.
Isso cobre todo o domínio \mathbb{R}\setminus[-1,1]. Observação útil: às vezes a fórmula aparece escrita como \operatorname{arcsec}'(y)=\dfrac{1}{|y|\sqrt{y^{2}-1}} combinando sinais, mas isso corresponde a outra convenção de ramo; aqui obtivemos exatamente a forma pedida com os sinais separados para y>1 e y<-1.

Passo 7

Resumo final e checagem rápida (exemplo numérico leve para dar confiança).
  • Checagem em y=2: pela fórmula do caso y>1,
\operatorname{arcsec}'(2)=\frac{1}{2\sqrt{4-1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}},
o que é positivo como esperado (a inversa de uma função estritamente crescente tem derivada positiva).
  • Checagem em y=-2: pelo caso y<-1,
\operatorname{arcsec}'(-2)=\frac{-1}{(-2)\sqrt{4-1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}},
note que o sinal final pode coincidir numericamente dependendo da combinação, mas a forma peçawise acima é a expressão correta conforme a escolha dos ramos.

Resposta

\operatorname{arcsec}'(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y>1,\\[6pt] \dfrac{-1}{y\sqrt{y^{2}-1}}, & \text{se } y<-1. \end{cases}]

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