Exercício 1.10. As raízes de
podem ser determinadas usando o processo iterativo na forma
. Encontre as raízes considerando:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
(domínio
) e pede para encontrar as raízes de
usando o processo iterativo
com a função proposta
Vou listar claramente o que se pede e o que já temos:
- Pedir: encontrar as raízes de
(ou seja os tais que ). - Informação dada: usar a iteração com
. - Observação importante que vou usar depois: uma raiz de
é exatamente um ponto fixo de , pois
Passo 2
Vou primeiro verificar quantas raízes existem (apenas para ter o panorama) e onde elas estão, sem resolver ainda:
- Calculo sinais rápidos de
:
logo existe uma raiz em
por troca de sinal.
logo existe outra raiz em
.
- Conclusão:
tem duas raízes positivas: uma em e outra em . Ambas são pontos fixos de .
Passo 3
Agora explico a teoria de iteração de ponto fixo que vamos usar (bem didático):
- Teorema local de convergência (versão curta): se
é diferenciável perto de um ponto fixo e , então a iteração converge localmente para (se estiver suficientemente perto). Se a iteração normalmente diverge. - Aqui calculamos a derivada de
: Em um ponto fixo vale , então Isso é uma observação muito útil: a taxa de contração no ponto fixo é exatamente o valor do ponto fixo. - Consequência para nossas duas raízes:
- A raiz pequena
tem . Logo a iteração com é localmente convergente para essa raiz (bom candidato). - A raiz grande
tem . Logo a iteração com esta é instável/perceptivelmente divergente perto dessa raiz: não dá para obter essa raiz usando diretamente esta .
- A raiz pequena
- Conclusão prática: usando
só conseguiremos convergir para a raiz em . A outra raiz existe mas não pode ser encontrada por convergência dessa iteração (teríamos que escolher outra ou outro método, ex.: Newton ou bisseção).
Passo 4
Vou aplicar a iteração para encontrar a raiz em
. Primeiro escolho um intervalo onde
seja contra-tor (garantindo convergência).
- Se tomarmos
então, para , portanto é lipschitz com constante em ; assim é contra-tor em e qualquer dará convergência para o ponto fixo em . - Para ser prático tomo
(um chute razoável dentro de ). A iteração é
Passo 5
Agora calculo as iterações mostrando os passos numéricos (arredondei cada valor mostrando 7 casas decimais para acompanhar a estabilização). Para cada iteração mostro
para ver a convergência.
-
. -
. Diferença: . -
. Diferença: . -
. Diferença: . -
. Diferença: . -
. Diferença: . -
. Diferença: . -
. Diferença: .
Observação: as diferenças estão caindo rapidamente porque
é contratante ali. Parei quando a diferença entre iterações ficou abaixo de
(aprox. entre
e
). O valor já estabilizado é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação e resultado para a raiz pequena:
- A iteração convergiu para o ponto fixo
. - Esse valor satisfaz
(com precisão da iteração) e portanto (é raiz de ). - Confirmando convergência:
, condição satisfeita.
Passo 7
Sobre a raiz grande em
:
- Como expliquei no Passo 3, em qualquer ponto fixo
vale . Para a raiz grande temos , por isso a iteração é instável lá e não converge para . - Ainda assim, podemos localizar numericamente essa raiz por outro método simples (bisseção ou Newton). Uma verificação rápida de sinais mostrou
e , portanto a raiz está em . Uma interpolação rápida dá (metodologias como Newton ou bisseção refinam isso; o ponto importante aqui é que não se usa a iteração com para encontrá-la, porque ela diverge).