Exercício 1.10. As raízes de f(x)=\ln (x)-x+2 podem ser determinadas usando o processo iterativo na forma x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right), i=1,2, \ldots. Encontre as raízes considerando:
\quad \varphi(x)=e^{x-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\ln(x)-x+2 (domínio x>0) e pede para encontrar as raízes de f usando o processo iterativo
x_{k+1}=\varphi(x_k),
com a função proposta
\varphi(x)=e^{x-2}.
Vou listar claramente o que se pede e o que já temos:
  • Pedir: encontrar as raízes de f (ou seja os x>0 tais que \ln(x)-x+2=0).
  • Informação dada: usar a iteração com \varphi(x)=e^{x-2}.
  • Observação importante que vou usar depois: uma raiz de f é exatamente um ponto fixo de \varphi, pois \ln(x)-x+2=0 \iff \ln(x)=x-2 \iff x=e^{x-2} \iff x=\varphi(x).

Passo 2

Vou primeiro verificar quantas raízes existem (apenas para ter o panorama) e onde elas estão, sem resolver ainda:
  • Calculo sinais rápidos de f: \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty \Rightarrow f(x)\to -\infty,
f(1)=\ln(1)-1+2=1>0,
logo existe uma raiz em (0,1) por troca de sinal.
f(3)=\ln(3)-3+2\approx1{,}0986-1=0{,}0986>0,
f(4)=\ln(4)-4+2\approx1{,}3863-2=-0{,}6137<0,
logo existe outra raiz em (3,4).
  • Conclusão: f tem duas raízes positivas: uma em (0,1) e outra em (3,4). Ambas são pontos fixos de \varphi.

Passo 3

Agora explico a teoria de iteração de ponto fixo que vamos usar (bem didático):
  • Teorema local de convergência (versão curta): se \varphi é diferenciável perto de um ponto fixo \alpha e |\varphi'(\alpha)|<1, então a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) converge localmente para \alpha (se x_0 estiver suficientemente perto). Se |\varphi'(\alpha)|>1 a iteração normalmente diverge.
  • Aqui calculamos a derivada de \varphi: \varphi'(x)=\frac{d}{dx}e^{x-2}=e^{x-2}=\varphi(x).Em um ponto fixo \alpha vale \varphi(\alpha)=\alpha, então \varphi'(\alpha)=\alpha.Isso é uma observação muito útil: a taxa de contração no ponto fixo é exatamente o valor do ponto fixo.
  • Consequência para nossas duas raízes:
    • A raiz pequena \alpha\in(0,1) tem \alpha<1\Rightarrow |\varphi'(\alpha)|=\alpha<1. Logo a iteração com \varphi é localmente convergente para essa raiz (bom candidato).
    • A raiz grande \beta\in(3,4) tem \beta>1\Rightarrow |\varphi'(\beta)|=\beta>1. Logo a iteração com esta \varphi é instável/perceptivelmente divergente perto dessa raiz: não dá para obter essa raiz usando diretamente esta \varphi.
  • Conclusão prática: usando \varphi(x)=e^{x-2} só conseguiremos convergir para a raiz em (0,1). A outra raiz existe mas não pode ser encontrada por convergência dessa iteração (teríamos que escolher outra \varphi ou outro método, ex.: Newton ou bisseção).

Passo 4

Vou aplicar a iteração para encontrar a raiz em (0,1). Primeiro escolho um intervalo onde \varphi seja contra-tor (garantindo convergência).
  • Se tomarmos I=[0{,}1] então, para x\in I, \varphi'(x)=e^{x-2}\le e^{-1}\approx0{,}3679<1,portanto \varphi é lipschitz com constante L\le e^{-1}<1 em I; assim \varphi é contra-tor em I e qualquer x_0\in I dará convergência para o ponto fixo em I.
  • Para ser prático tomo x_0=0{,}2 (um chute razoável dentro de (0,1)). A iteração é x_{k+1}=e^{x_k-2}.

Passo 5

Agora calculo as iterações mostrando os passos numéricos (arredondei cada valor mostrando 7 casas decimais para acompanhar a estabilização). Para cada iteração mostro |x_{k+1}-x_k| para ver a convergência.
  • x_0=0{,}2000000.
  • x_1=e^{0{,}2-2}=e^{-1{,}8}=0{,}1652989. Diferença: |x_1-x_0|=0{,}0347011.
  • x_2=e^{0{,}1652989-2}=e^{-1{,}8347011}\approx 0{,}1596260. Diferença: |x_2-x_1|\approx0{,}0056729.
  • x_3=e^{0{,}1596260-2}=e^{-1{,}8403740}\approx 0{,}1587920. Diferença: |x_3-x_2|\approx0{,}0008340.
  • x_4=e^{0{,}1587920-2}=e^{-1{,}8412080}\approx 0{,}1585944. Diferença: |x_4-x_3|\approx0{,}0001976.
  • x_5=e^{0{,}1585944-2}=e^{-1{,}8414056}\approx 0{,}1585689. Diferença: |x_5-x_4|\approx0{,}0000255.
  • x_6=e^{0{,}1585689-2}=e^{-1{,}8414311}\approx 0{,}1585659. Diferença: |x_6-x_5|\approx0{,}0000030.
  • x_7=e^{0{,}1585659-2}=e^{-1{,}8414341}\approx 0{,}1585656. Diferença: |x_7-x_6|\approx0{,}0000003.
Observação: as diferenças estão caindo rapidamente porque \varphi é contratante ali. Parei quando a diferença entre iterações ficou abaixo de 10^{-6} (aprox. entre x_6 e x_7). O valor já estabilizado é aproximadamente 0{,}1585656.

Passo 6

Interpretação e resultado para a raiz pequena:
  • A iteração convergiu para o ponto fixo \alpha\approx 0{,}1585656.
  • Esse valor satisfaz \alpha=e^{\alpha-2} (com precisão da iteração) e portanto \ln(\alpha)-\alpha+2=0 (é raiz de f).
  • Confirmando convergência: \varphi'(\alpha)=\alpha\approx0{,}1586<1, condição satisfeita.

Passo 7

Sobre a raiz grande em (3,4):
  • Como expliquei no Passo 3, em qualquer ponto fixo \beta vale \varphi'(\beta)=\beta. Para a raiz grande \beta>1 temos |\varphi'(\beta)|>1, por isso a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) é instável lá e não converge para \beta.
  • Ainda assim, podemos localizar numericamente essa raiz por outro método simples (bisseção ou Newton). Uma verificação rápida de sinais mostrou f(3{,}1)>0 e f(3{,}2)<0, portanto a raiz está em (3{,}1,3{,}2). Uma interpolação rápida dá \beta\approx 3{,}14619 (metodologias como Newton ou bisseção refinam isso; o ponto importante aqui é que não se usa a iteração com \varphi para encontrá-la, porque ela diverge).

Resposta

\text{Pequena raiz (por iteração com }\varphi):\\ x\approx0{,}1585656çã
\text{Grande raiz (não obtida pela iteração, aproximada por outro método):}\\ x\approx3{,}146193ãçãé

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