Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular a derivada dessa expressão em relação a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A operação pedida é a diferenciação (achar
ou ).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a raiz cúbica num formato que facilita a aplicação das fórmulas de derivação.
A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
Então a função fica
Agora vou lembrar as fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
- Derivada da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se
e são funções, então
- Derivada de constante: se
é constante, então
- Regra da potência: para qualquer número real
, a derivada de é
onde
é o expoente e
é a variável. Exemplos rápidos para fixar:
Passo 3
Aplicando a derivada termo a termo usando as fórmulas acima:
A derivada da constante
é
:
Para
usamos a regra da potência com
:
Calcule o expoente novo:
Portanto
Passo 4
Juntando os resultados:
É útil também escrever a resposta em formas equivalentes sem expoentes negativos:
Observação sobre a existência da derivada: a expressão
não é finita em
, logo a derivada não existe (é infinita) em
. Para
a fórmula acima vale normalmente.