Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
y=(1+\sqrt[3]{x})

Passo 1

O enunciado fornece a função \;y=(1+\sqrt[3]{x})\; e pede para calcular a derivada dessa expressão em relação a x.
Informações dadas:
  • A função é y=1+\sqrt[3]{x}.
  • A operação pedida é a diferenciação (achar y' ou \dfrac{dy}{dx}).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a raiz cúbica num formato que facilita a aplicação das fórmulas de derivação.
A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Então a função fica
y = 1 + x^{1/3}.
Agora vou lembrar as fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Derivada da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
  • Derivada de constante: se c é constante, então
\frac{d}{dx}c = 0.
  • Regra da potência: para qualquer número real n, a derivada de x^n é
\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1},
onde n é o expoente e x é a variável. Exemplos rápidos para fixar:
\frac{d}{dx}x^2 = 2x\quad\text{(aqui }n=2\text{)},
\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}\quad\text{(aqui }n=\tfrac{1}{2}\text{)}.

Passo 3

Aplicando a derivada termo a termo usando as fórmulas acima:
\frac{d}{dx}\bigl(1+x^{1/3}\bigr)=\frac{d}{dx}1+\frac{d}{dx}x^{1/3}.
A derivada da constante 1 é 0:
\frac{d}{dx}1=0.
Para \dfrac{d}{dx}x^{1/3} usamos a regra da potência com n=\tfrac{1}{3}:
\frac{d}{dx}x^{1/3}=\left(\tfrac{1}{3}\right)x^{\tfrac{1}{3}-1}.
Calcule o expoente novo:
\tfrac{1}{3}-1 = -\tfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{d}{dx}x^{1/3}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 4

Juntando os resultados:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(1+x^{1/3}\bigr)=0+\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
É útil também escrever a resposta em formas equivalentes sem expoentes negativos:
y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3x^{2/3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Observação sobre a existência da derivada: a expressão \dfrac{1}{3}x^{-2/3} não é finita em x=0, logo a derivada não existe (é infinita) em x=0. Para x\neq0 a fórmula acima vale normalmente.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3x^{2/3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

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