Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
9 h 35 min

Passo 1

O enunciado pede: determinar a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar 9\\ \text{h}\\\ 35\\ \text{min}.
Informações dadas:
  • Hora: 9.
  • Minutos: 35.
O que precisamos obter: o menor ângulo (em graus) entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos nesse instante.

Passo 2

Ideia e fórmulas básicas (explicação didática).
  • O relógio é dividido em 12 horas, uma volta completa corresponde a 360^\circ. Assim, cada hora corresponde a \dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ.
  • O ponteiro dos minutos percorre a volta inteira em 60 minutos, logo cada minuto corresponde a \dfrac{360^\circ}{60}=6^\circ.
  • O ponteiro das horas não fica parado entre as horas: ele avança conforme os minutos passam. Em uma hora (60 minutos) o ponteiro das horas avança 30^\circ, então por minuto ele avança \dfrac{30^\circ}{60}=0,5^\circ.
Definindo variáveis:
  • h = hora no mostrador (para 9\\ \text{h}\\\ 35\\ \text{min} usamos h=9).
  • m = minutos (aqui m=35).
  • Ângulo do ponteiro dos minutos medido a partir das 12 horas: \theta_m.
  • Ângulo do ponteiro das horas medido a partir das 12 horas: \theta_h.
Fórmulas:
\theta_m = 6m
\theta_h = 30h + 0,5m
Explicação: \theta_m vem de 6^\circ por minuto; \theta_h é a soma do deslocamento inteiro por horas ( 30h) mais o deslocamento adicional devido aos minutos ( 0,5m).
O ângulo entre os ponteiros (diferença) é:
\Delta = |\theta_h - \theta_m|.
O menor ângulo entre eles é o menor entre \Delta e 360^\circ-\Delta, pois numa volta circular há sempre duas medidas complementares.

Passo 3

Calcular o ângulo do ponteiro dos minutos usando m=35:
\theta_m = 6\cdot 35 = 210^\circ.
Interpretação: o ponteiro dos minutos apontará para a marca dos 35 minutos, que é 210^\circ a partir do topo (12 horas).

Passo 4

Calcular o ângulo do ponteiro das horas usando h=9 e m=35.
Primeiro calcular a contribuição dos minutos ao ponteiro das horas:
\text{avanco\\ dos\\ minutos\\ no\\ ponteiro\\ das\\ horas} = 0,5\cdot 35 = 17,5^\circ.
Agora somar à posição inteira das 9 horas:
\theta_h = 30\cdot 9 + 17,5 = 270 + 17,5 = 287,5^\circ.
Comentário prático: também se pode ver 35/60 = 7/12 de uma hora, e 30^\circ\cdot \tfrac{7}{12}=30\cdot \tfrac{7}{12}= \tfrac{30}{12}\cdot7=\tfrac{5}{2}\cdot7=17,5^\circ — dá o mesmo resultado sem calculadora.

Passo 5

Calcular a diferença absoluta entre os dois ângulos:
\Delta = |\theta_h - \theta_m| = |287,5 - 210| = 77,5^\circ.

Passo 6

Calcular a outra possibilidade (complemento em 360^\circ):
360^\circ - \Delta = 360 - 77,5 = 282,5^\circ.
Duas medidas possíveis do ângulo entre os ponteiros são 77,5^\circ e 282,5^\circ. O menor entre elas será a resposta final.

Resposta

77,5^\circ

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