Determine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar:
9 h 35 min
9 h 35 min
Passo 1
O enunciado pede: determinar a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar
.
Informações dadas:
- Hora:
. - Minutos:
.
O que precisamos obter: o menor ângulo (em graus) entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos nesse instante.
Passo 2
Ideia e fórmulas básicas (explicação didática).
- O relógio é dividido em
horas, uma volta completa corresponde a . Assim, cada hora corresponde a . - O ponteiro dos minutos percorre a volta inteira em
minutos, logo cada minuto corresponde a . - O ponteiro das horas não fica parado entre as horas: ele avança conforme os minutos passam. Em uma hora (60 minutos) o ponteiro das horas avança
, então por minuto ele avança .
Definindo variáveis:
-
= hora no mostrador (para usamos ). -
= minutos (aqui ). - Ângulo do ponteiro dos minutos medido a partir das 12 horas:
. - Ângulo do ponteiro das horas medido a partir das 12 horas:
.
Fórmulas:
Explicação:
vem de
por minuto;
é a soma do deslocamento inteiro por horas (
) mais o deslocamento adicional devido aos minutos (
).
O ângulo entre os ponteiros (diferença) é:
O menor ângulo entre eles é o menor entre
e
, pois numa volta circular há sempre duas medidas complementares.
Passo 3
Calcular o ângulo do ponteiro dos minutos usando
:
Interpretação: o ponteiro dos minutos apontará para a marca dos
minutos, que é
a partir do topo (12 horas).
Passo 4
Calcular o ângulo do ponteiro das horas usando
e
.
Primeiro calcular a contribuição dos minutos ao ponteiro das horas:
Primeiro calcular a contribuição dos minutos ao ponteiro das horas:
Agora somar à posição inteira das
horas:
Comentário prático: também se pode ver
de uma hora, e
— dá o mesmo resultado sem calculadora.
Passo 5
Calcular a diferença absoluta entre os dois ângulos:
Passo 6
Calcular a outra possibilidade (complemento em
):
Duas medidas possíveis do ângulo entre os ponteiros são
e
. O menor entre elas será a resposta final.