Seja f: R C uma função tal que f(x) neq 0 para todo x in R. Mostre que:
Se f é uma função ímpar, então 1f também é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f:RtoC satisfaz f(x)neq0 para todo x e é ímpar, então a função inversa ponto a ponto
g(x) = 1f(x)
também é ímpar. O conteúdo envolve definição de função ímpar e propriedades de inversão de números não nulos.

Passo 2

Relembrando a definição, dizemos que f é ímpar se, e somente se, para todo xinR, vale
f(-x) = -,f(x)

Passo 3

Como f(x)neq0 para todo x, a função g(x)=1/f(x) está bem definida. Vamos verificar a condição de imparidade para g:
g(-x) = 1f(-x)
Usando que f é ímpar, substituímos f(-x) por -f(x):
g(-x) = 1f(-x) = 1-,f(x) = -,1f(x) = -,g(x)

Resposta

A função g(x)=1f(x) satisfaz g(-x)=-g(x), logo é ímpar.

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