Exercício 10: Quais são os índices direcionais para um vetor que passa do ponto
ao ponto
em uma célula unitária cúbica?
Passo 1
O enunciado pede os índices direcionais para o vetor que vai do ponto
ao ponto
em uma célula cúbica unitária.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Coordenada inicial:
. - Coordenada final:
. - A célula é cúbica unitária, ou seja, os vetores de base unitários ao longo de
têm comprimento e são ortogonais.
Passo 2
O que são “índices direcionais” e como calculá-los (explicação didática):
- Em uma rede cúbica, um vetor direcional é descrito por um triplo de números inteiros
que são proporcionais às projeções do vetor nas direções das arestas da célula (eixos ). - Para obter esses índices a partir de coordenadas fracionárias dentro da célula: (i) calcula-se a diferença das coordenadas finais e iniciais para obter as componentes do vetor em unidades da aresta; (ii) obtém-se razões proporcionais a inteiros removendo denominadores (multiplicando por um inteiro comum) e (iii) simplifica-se dividindo por qualquer fator comum para obter o menor conjunto de inteiros sem divisor comum.
- Raciocínio prático: os índices direcionais são a versão inteira e reduzida do vetor diferença expresso em unidades da célula.
Passo 3
Calcular as componentes do vetor diferença (com contas explicadas):
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto o vetor diferença, em unidades da aresta da célula, é
Passo 4
Transformar essas componentes em índices inteiros (passo a passo para não errar):
- Primeiro, identificar os denominadores das componentes fracionárias: aqui as componentes são
, com denominadores efetivos . - Tomar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores:
. Multiplica-se o vetor por esse MMC para eliminar frações:
- Em seguida, verificar se há um fator comum entre os três inteiros (o máximo divisor comum, MDC). Aqui
, portanto já está na forma reduzida mínima.
Passo 5
Observações finais úteis para a prova (dicas e notações):
- A notação padrão para índices direcionais em cristalografia usa colchetes retos, por exemplo
. - Sinais negativos aparecem normalmente com um traço superior (em impressão técnica) ou com um sinal menos na escrita simples (ex.:
ou ). - Sempre confirme que o triplo inteiro está reduzido (sem divisor comum maior que
) — isso evita erros bobos em prova.