Exercício 10: Quais são os índices direcionais para um vetor que passa do ponto \frac{1}{4} 0 \frac{1}{2} ao ponto \frac{3}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{2} em uma célula unitária cúbica?

Passo 1

O enunciado pede os índices direcionais para o vetor que vai do ponto \left(\dfrac{1}{4},\,0,\,\dfrac{1}{2}\right) ao ponto \left(\dfrac{3}{4},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\right) em uma célula cúbica unitária.
Informações relevantes dadas:
  • Coordenada inicial: \mathbf{r}_1 = \left(\dfrac{1}{4},\,0,\,\dfrac{1}{2}\right).
  • Coordenada final: \mathbf{r}_2 = \left(\dfrac{3}{4},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\right).
  • A célula é cúbica unitária, ou seja, os vetores de base unitários ao longo de x,y,z têm comprimento 1 e são ortogonais.

Passo 2

O que são “índices direcionais” e como calculá-los (explicação didática):
  • Em uma rede cúbica, um vetor direcional é descrito por um triplo de números inteiros [u\,v\,w] que são proporcionais às projeções do vetor nas direções das arestas da célula (eixos x,y,z).
  • Para obter esses índices a partir de coordenadas fracionárias dentro da célula: (i) calcula-se a diferença das coordenadas finais e iniciais para obter as componentes do vetor em unidades da aresta; (ii) obtém-se razões proporcionais a inteiros removendo denominadores (multiplicando por um inteiro comum) e (iii) simplifica-se dividindo por qualquer fator comum para obter o menor conjunto de inteiros sem divisor comum.
  • Raciocínio prático: os índices direcionais são a versão inteira e reduzida do vetor diferença expresso em unidades da célula.

Passo 3

Calcular as componentes do vetor diferença (com contas explicadas):
  • Componente x:
\Delta x = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.
  • Componente y:
\Delta y = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}.
  • Componente z:
\Delta z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0.
Portanto o vetor diferença, em unidades da aresta da célula, é
\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2},\,0\right).

Passo 4

Transformar essas componentes em índices inteiros (passo a passo para não errar):
  • Primeiro, identificar os denominadores das componentes fracionárias: aqui as componentes são \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0, com denominadores efetivos 2,2,1.
  • Tomar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores: \mathrm{MMC}(2,2,1)=2. Multiplica-se o vetor por esse MMC para eliminar frações:
2\cdot\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2},\,0\right)=(1,\,1,\,0).
  • Em seguida, verificar se há um fator comum entre os três inteiros (o máximo divisor comum, MDC). Aqui \gcd(1,1,0)=1, portanto já está na forma reduzida mínima.

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (dicas e notações):
  • A notação padrão para índices direcionais em cristalografia usa colchetes retos, por exemplo [u\,v\,w].
  • Sinais negativos aparecem normalmente com um traço superior (em impressão técnica) ou com um sinal menos na escrita simples (ex.: [\bar{1}10] ou [ -1\,1\,0]).
  • Sempre confirme que o triplo inteiro está reduzido (sem divisor comum maior que 1) — isso evita erros bobos em prova.

Resposta

[110]

Exercícios relacionados