Exercício 10. Sejam \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} conjuntos. Prove que se \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} e \mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\varnothing então \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \backslash \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado fornece três conjuntos A, B e C e as hipóteses
A \subseteq B \quad\text{e}\quad A \cap C = \varnothing.
Precisamos mostrar que
A \subseteq B \setminus C.
Faremos isso usando o método do elemento genérico: tomamos um elemento arbitrário de A e provamos que ele pertence a B\setminus C.

Passo 2

Seja x um elemento arbitrário tal que x\in A.
Pela hipótese A\subseteq B, temos imediatamente
x\in B.
Além disso, como A\cap C=\varnothing, não existe elemento em comum entre A e C. Logo, x\notin C.

Passo 3

Tendo mostrado que x\in B e x\notin C, concluímos que
x\in B\setminus C.
Como x foi um elemento arbitrário de A, isso vale para todo x\in A. Portanto
A\subseteq B\setminus C.

Resposta

Concluímos que, sob as hipóteses dadas, vale
A \subseteq B \setminus C.

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