Exercício 9. Prove que para todo real
, se
então existe
real tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer
com
, existe
tal que
O conteúdo principal é resolução de equação quadrática em
e uso do discriminante para garantir raízes reais.
Passo 2
Reescrevemos a equação em forma padrão:
Passo 3
Para saber se essa equação tem soluções reais em
, calculamos o discriminante
da quadrática
:
Como
, segue que
. Logo
.
Passo 4
Com
, a fórmula de Bhaskara garante duas raízes reais:
Pelo menos uma dessas expressões é um número real.
Passo 5
Portanto, para todo
basta escolher
(ou a outra raiz com sinal “
”) para obter
. Isso conclui a prova da existência de
.
Resposta
Para todo
, existe pelo menos um
, dado por
tal que
.