Exercício 9. Prove que para todo real x, se x>0 então existe y real tal que y(y+1)=x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer x\in\mathbb{R} com x>0, existe y\in\mathbb{R} tal que
y(y+1)=x.
O conteúdo principal é resolução de equação quadrática em y e uso do discriminante para garantir raízes reais.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma padrão:
y(y+1)=x \quad\Longleftrightarrow\quad y^2 + y - x = 0.

Passo 3

Para saber se essa equação tem soluções reais em y, calculamos o discriminante \Delta da quadrática y^2 + y - x = 0:
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-x) = 1 + 4x.
Como x>0, segue que 1+4x>1>0. Logo \Delta>0.

Passo 4

Com \Delta>0, a fórmula de Bhaskara garante duas raízes reais:
y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}.
Pelo menos uma dessas expressões é um número real.

Passo 5

Portanto, para todo x>0 basta escolher
y = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}
(ou a outra raiz com sinal “ -”) para obter y(y+1)=x. Isso conclui a prova da existência de y.

Resposta

Para todo x>0, existe pelo menos um y\in\mathbb{R}, dado por
y = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4x}}{2},
tal que y(y+1)=x.

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