Exercício 11 (Quantificador de unicidade:
!). A proposição
indica que existe um único
no domínio do discurso tal que
é verdadeiro. Por exemplo,
é verdadeiro pois somente o número 1 tem a propriedade de que qualquer outro natural
vezes ele resulta em
.
Prove que para todo irracional
existe um único inteiro
tal que
.
(Dica: use (1) mostre que existe
e depois mostre que para qualquer
com a mesma propriedade
. Nesse último passo pode ser preciso usar a desigualdade triangular)
(Dica: use (1) mostre que existe
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um número irracional
, existe um único inteiro
tal que
Isto é, provar
seguindo a definição
Vamos primeiro mostrar a existência de tal
e em seguida a unicidade usando a desigualdade triangular.
Passo 2
(Prova de existência)
Considere
Considere
Pelo princípio arquimediano, existe um inteiro
tal que
Como
é irracional,
também não pode ser inteiro, logo na verdade
Subtraindo
de cada parte, obtemos
Isso mostra que existe ao menos um inteiro
com a propriedade desejada.
Passo 3
(Prova de unicidade)
Suponha que exista outro inteiro tal que
Suponha que exista outro inteiro
Então, pela desigualdade triangular,
Como
é inteiro e satisfaz
, só pode ser
. Logo
.
Resposta
Para todo irracional
existe exatamente um inteiro
, dado por
que satisfaz
.