Exercício 11 (Quantificador de unicidade: \exists !). A proposição (\exists!x) \mathrm{P}(x) indica que existe um único x no domínio do discurso tal que \mathrm{P}(x) é verdadeiro. Por exemplo, (\forall n \in \mathbb{N})(\exists!m \in \mathbb{N}) n m=n é verdadeiro pois somente o número 1 tem a propriedade de que qualquer outro natural x vezes ele resulta em x.
(\exists!x) \mathrm{P}(x) \text { se, e somente se, }(\exists x)(\mathrm{P}(x) \text { е }(\forall y)(\mathrm{P}(y) \rightarrow x=y)) .е
Prove que para todo irracional r existe um único inteiro n tal que |r-n|<\frac{1}{2}.
(Dica: use (1) mostre que existe n e depois mostre que para qualquer m com a mesma propriedade m=n. Nesse último passo pode ser preciso usar a desigualdade triangular)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número irracional r, existe um único inteiro n tal que
|r-n|<\tfrac12.
Isto é, provar
(\exists!n\in\mathbb{Z})\bigl(|r-n|<\tfrac12\bigr),
seguindo a definição
(\exists!x)P(x)\iff(\exists x)\bigl(P(x)\wedge(\forall y)(P(y)\to y=x)\bigr).
Vamos primeiro mostrar a existência de tal n e em seguida a unicidade usando a desigualdade triangular.

Passo 2

(Prova de existência)
Considere
x = r + \tfrac12.
Pelo princípio arquimediano, existe um inteiro n tal que
n \le x < n+1.
Como r é irracional, x=r+\tfrac12 também não pode ser inteiro, logo na verdade
n < x < n+1.
Subtraindo \tfrac12 de cada parte, obtemos
n - \tfrac12 < r < n + \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad |r - n| < \tfrac12.
Isso mostra que existe ao menos um inteiro n com a propriedade desejada.

Passo 3

(Prova de unicidade)
Suponha que exista outro inteiro m tal que
|r - m| < \tfrac12.
Então, pela desigualdade triangular,
|n - m| = |\,n - r + r - m\,| \le |n - r| + |r - m| < \tfrac12 + \tfrac12 = 1.
Como n-m é inteiro e satisfaz |n-m|<1, só pode ser n-m=0. Logo m=n.

Resposta

Para todo irracional r existe exatamente um inteiro n, dado por
n = \bigl\lfloor r + \tfrac12 \bigr\rfloor,
que satisfaz |r-n|<\tfrac12.

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