Exercício 10. A tabela abaixo fornece o volume de nitrogênio, nas CNTP, adsorvido por grama de carvão ativo a 0^{\circ} \mathrm{C} em função da pressão de equilíbrio:
\mathbf{P}(\mathbf{m m H g}) 3,93 12,98 22,94 34,01 56,23
\mathbf{v}\left(\mathbf{c m}^{\mathbf{3}} / \mathbf{g}\right) 0,987 3,04 5,08 7,04 10,31
Verificar se esses dados seguem a isoterma de Langmuir. Em caso afirmativo, determinar os valores das constantes de Langmuir. Se a área de uma molécula de nitrogênio vale 0,162 \mathrm{~nm}^{2}, estimar a área superficial específica do carvão ativo.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pressões de equilíbrio P (em mmHg) e volumes adsorvidos v (em c m^{3} (STP)/g) de nitrogênio em carvão ativo a 0^\circ\mathrm{C}. Queremos verificar se esses dados obedecem à isoterma de Langmuir, cuja expressão é
v = \frac{v_{m}\,b\,P}{1 + b\,P}
e, em caso afirmativo, determinar as constantes v_{m} (capacidade de monolayer) e b (constante de afinidade). Em seguida, usando a área de uma molécula de N_{2} de 0{,}162\;\mathrm{nm}^2, estimar a área superficial específica do carvão ativo.

Passo 2

Para linearizar a isoterma de Langmuir, reescrevemos
v = \frac{v_{m}\,b\,P}{1 + b\,P} \quad\Longrightarrow\quad \frac{P}{v} = \frac{1}{v_{m}\,b} + \frac{P}{v_{m}}\,.
Assim, ao plotar \tfrac{P}{v} versus P, obtemos uma reta de inclinação \displaystyle m = \frac{1}{v_{m}}
e coeficiente linear \displaystyle a = \frac{1}{v_{m}\,b}.

Passo 3

Calculamos \tfrac{P}{v} para cada ponto da tabela: \tfrac{3{,}93}{0{,}987}=3{,}984, \tfrac{12{,}98}{3{,}04}=4{,}270, \tfrac{22{,}94}{5{,}08}=4{,}516, \tfrac{34{,}01}{7{,}04}=4{,}830, \tfrac{56{,}23}{10{,}31}=5{,}455.
Fazendo regressão linear por mínimos quadrados sobre os cinco pares (P,\tfrac{P}{v}), obtemos:
\sum P = 130{,}09,\quad \sum \frac{P}{v} = 23{,}0533,\quad \sum P^{2} = 5028{,}74,\quad \sum P\frac{P}{v} = 645{,}597.
Logo
m = \frac{5\sum P\frac{P}{v} - (\sum P)(\sum \frac{P}{v})} {5\sum P^{2} - (\sum P)^{2}} =0{,}02786,
a = \frac{\sum \frac{P}{v} - m\,\sum P}{5} =3{,}8864.

Passo 4

A partir de m e a encontramos
v_{m} = \frac{1}{m} = 35{,}89\;\mathrm{cm^{3}/g}, \qquad v_{m}\,b = \frac{1}{a} = 0{,}2574 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{0{,}2574}{35{,}89} = 0{,}00717\;\mathrm{mmHg^{-1}}.

Passo 5

Para estimar a área superficial específica, calculamos a quantidade de moléculas na monocamada:
n = \frac{v_{m}}{22400} = \frac{35{,}89}{22400} =0{,}001602\;\mathrm{mol/g},
N = n\,N_{A} =0{,}001602\times6{,}022\times10^{23} =9{,}645\times10^{20}\;\mathrm{moléculas/g}.é
Cada molécula ocupa 0{,}162\,\mathrm{nm}^2 =0{,}162\times10^{-18}\,\mathrm{m^2}, logo
\text{área específica} = N \times 0{,}162\times10^{-18} =9{,}645\times10^{20}\times0{,}162\times10^{-18} \approx156{,}3\;\mathrm{m^2/g}.áí

Resposta

Sim, os dados seguem a isoterma de Langmuir com
v_{m}=35{,}9\;\mathrm{cm^3/g}, \quad b=0{,}00717\;\mathrm{mmHg^{-1}},
e a área superficial específica do carvão ativo é aproximadamente
156\;\mathrm{m^2/g}.

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