Exercício 11. Um gás diatômico é adsorvido na superfície de um sólido na forma de átomos de acordo com o equilíbrio representado abaixo:
A_{2}+2 S \Leftrightarrow 2 A S
onde A_{2} representa uma molécula do gás na fase gasosa, S um sítio de adsorção vazio e AS o complexo adsorvato-adsorvente. Usando as mesmas considerações de Langmuir, mostrar que o grau de cobertura, \theta, é dado por:
\theta=\frac{\sqrt{k \cdot P}}{\sqrt{k \cdot P}+1}
onde P é a pressão de equilíbrio da fase gasosa e k uma constante.

Passo 1

O enunciado descreve a adsorção dissociativa de uma molécula diatômica A_{2} em dois sítios vazios S, de modo que
A_{2} + 2S \;\Leftrightarrow\; 2\,AS.
Queremos achar a isoterma de Langmuir para este caso, ou seja, mostrar que o grau de cobertura \theta=\dfrac{\text{nº de sítios ocupados}}{\text{nº total de sítios}}ºíºí
satisfaz
\theta=\frac{\sqrt{k\,P}}{\sqrt{k\,P}+1},
onde P é a pressão do gás e k uma constante de equilíbrio ajustada.

Passo 2

Pelas hipóteses de Langmuir temos um número total de sítios S_{0}. Se \theta é a fração de sítios ocupados, então
[\!AS\!] \;=\;\theta\,S_{0}, \qquad [\!S\!] \;=\;(1-\theta)\,S_{0}.
Além disso, pela aproximação do gás ideal, a “concentração” de A_{2} na fase gasosa é proporcional à pressão P, e absorvemos essa proporcionalidade na constante k.

Passo 3

Aplicamos a lei da ação das massas ao equilíbrio dissociativo:
K_{\rm eq} =\frac{[\!AS\!]^{2}}{[A_{2}]\,[\!S\!]^{2}} \;\longrightarrow\; k \;=\;\frac{\bigl(\theta\,S_{0}\bigr)^{2}}{P\;\bigl((1-\theta)\,S_{0}\bigr)^{2}} =\frac{\theta^{2}}{P\,(1-\theta)^{2}}.
Aí segue imediatamente
\theta^{2} = k\,P\,(1-\theta)^{2}.

Passo 4

Tomando raiz quadrada em ambos os lados (e escolhendo o sinal positivo pois \theta\ge0),
\theta = \sqrt{k\,P}\,\bigl(1-\theta\bigr) \;\Longrightarrow\; \theta + \sqrt{k\,P}\,\theta = \sqrt{k\,P} \;\Longrightarrow\; \theta\,(1+\sqrt{k\,P}) = \sqrt{k\,P}.
Isolando \theta resulta
\theta = \frac{\sqrt{k\,P}}{1+\sqrt{k\,P}}.

Resposta

\theta = \frac{\sqrt{k\,P}}{\sqrt{k\,P}+1}.

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