Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a
. Verifique se
definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em satisfaz as três propriedades de um produto interno real:
em
- bilinearidade em cada argumento (aqui basta checar linearidade no primeiro e simetria),
- simetria,
- positividade definida (
sempre que ).
Passo 2
Vamos checar a linearidade no primeiro argumento. Sejam
e
. Então
Logo a forma é linear no primeiro argumento.
Passo 3
A simetria é imediata:
Passo 4
Verificamos agora a positividade. Para todo
,
Porém, se escolhermos um polinômio não nulo
que tenha raiz em
, isto é,
mas
, então
Isso mostra que a forma não é estritamente positiva, apenas semidefinida.
Resposta
A aplicação
NÃO define um produto interno em
, pois falha em ser positiva definida.