Exercício 11. (Apostol seção 1.13 exercícios 12) Seja Pn o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Verifique se lang<=,rang<=: Pn times Pn R definidas abaixo definem um produto interno. Justifique.
lang<= f, grang<==f(1) g(1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= f,grang<= = f(1),g(1)
em Pn satisfaz as três propriedades de um produto interno real:
  1. bilinearidade em cada argumento (aqui basta checar linearidade no primeiro e simetria),
  2. simetria,
  3. positividade definida ( lang<= f,frang<=>0 sempre que fneq0).

Passo 2

Vamos checar a linearidade no primeiro argumento. Sejam f,g,hin Pn e a,bin R. Então
lang<= a f + b g,;hrang<= = l(a f + b gr)(1),h(1) = l(a,f(1)+b,g(1)r),h(1) = a,f(1),h(1) + b,g(1),h(1) = a,lang<= f,hrang<= + b,lang<= g,hrang<=
Logo a forma é linear no primeiro argumento.

Passo 3

A simetria é imediata:
lang<= f,grang<= = f(1),g(1) = g(1),f(1) = lang<= g,frang<=

Passo 4

Verificamos agora a positividade. Para todo fin Pn,
lang<= f,frang<= = f(1),f(1) = l(f(1)r)^2 >=0
Porém, se escolhermos um polinômio não nulo f que tenha raiz em x=1, isto é, f(1)=0 mas fnotequiv0, então
lang<= f,frang<= = 0 com (fneq0)
Isso mostra que a forma não é estritamente positiva, apenas semidefinida.

Resposta

A aplicação lang<= f,grang<= = f(1),g(1) NÃO define um produto interno em Pn, pois falha em ser positiva definida.

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