Calcule as seguintes integrais:
(1 pt) integral0^1 8(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^18(x^2+1)^2,dx
Este tipo de integral tem a forma (x^2+1)^-2, que a gente pode resolver tranquilamente usando substituição trigonométrica x=tantheta.

Passo 2

Fazendo x=tantheta temos dx=sec^2theta,dtheta e
x^2+1=tan^2theta+1=sec^2theta
Os limites mudam para
x=0;Rightarrow;theta=0, x=1;Rightarrow;theta=pi4
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integral0^18(x^2+1)^2,dx =8integral0^pi/4sec^2theta(sec^2theta)^2,dtheta =8integral0^pi/4cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar cos^2theta usamos a identidade
cos^2theta=1+cos2theta2
Assim
8integral0^pi/4cos^2theta,dtheta =8integral0^pi/41+cos2theta2,dtheta =4integral0^pi/4(1+cos2theta),dtheta
Integramos:
4l[theta+sin2theta2r]0^pi/4 =4l(pi4+sin(pi/2)2r) =4l(pi4+12r) =pi+2

Resposta

pi + 2

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