Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
x d y+y d x+x^4 y^4(y d x+x d y)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x,dy + y,dx + x^4 y^4,(y,dx + x,dy) = 0
O tema aqui é equação exata; vamos verificar se dá para escrever na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e então achar uma função potencial Psi(x,y) cuja diferencial total se anule.

Passo 2

Reescrevemos agrupando os termos em dx e dy. Fica
(y + x^4 y^5),dx + (x + x^5 y^4),dy = 0,
portanto
M(x,y)=y + x^4 y^5, N(x,y)=x + x^5 y^4

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y=1 + 5x^4 y^4,
partial Npartial x=1 + 5x^4 y^4
Elas coincidem, logo a equação é exata.

Passo 4

Buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(y + x^4 y^5),dx = x y + x^5 y^55 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Derivamos Psi em relação a y e comparamos com N(x,y):
partial Psipartial y=x + x^5 y^4 + h'(y) = x + x^5 y^4
Isso força h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral vem do nível constante da potencial:
Psi(x,y)=C Longrightarrow x y + x^5 y^55=C

Resposta

x y + x^5 y^55=C

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