Exercício 11. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado pede calcular
, onde é a região limitada pelas retas , e . - Vamos encontrar os vértices da região
resolvendo as interseções dessas retas: - Interseção de
com : . - Interseção de
com : resolver dá , ponto . - Interseção de
com : substituir dá , ponto .
- Interseção de
- Portanto
é o triângulo com vértices , e . - Observação útil para montar os limites: para
entre e , o varia da reta inferior até a reta superior . Ou seja,
Passo 2
Explicar a ideia de resolver por integração iterada.
- Para uma função contínua
definida numa região simples do plano, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (Teorema de Fubini). Escrevemos, quando conveniente, onde e são os limites em e , são as curvas que determinam o intervalo em para cada . - Aqui
, , , e . Vou usar a ordem porque os limites em ficam simples para variando de a .
Passo 3
Escrever a integral iterada correspondente ao problema.
- Usando a descrição da região:
Passo 4
Calcular a integral interna
passo a passo.
- Ao integrar em relação a
, é tratado como constante. A primitiva de em é pois e . - Avaliando entre
e : - Calculando:
- Podemos reescrever isto de forma expandida para integrar facilmente em
. Primeiro note que . Somando as parcelas: - Expandindo
e substituindo: ]
Passo 5
Calcular a integral externa
.
- Integramos termo a termo. As primitivas são:
- Portanto a primitiva combinada é
. Avaliando de a :
Passo 6
Interpretação rápida (opcional, para fixar a ideia).
- O valor zero significa que, sobre a região
, as contribuições positivas e negativas de se cancelam. Como é negativo em boa parte da região e positivo, a soma média resulta em zero neste triângulo específico.