Exercício 8. Calcule \int_{2}^{3} \int_{1}^{y} x y d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada abaixo:
\int_{2}^{3}\int_{1}^{y} x\,y \, dx\, dy.
Informações dadas:
  • A função integranda é x\,y.
  • A integração interna é em relação a x, com limite inferior x=1 e superior x=y.
  • A integração externa é em relação a y, com limite inferior y=2 e superior y=3.
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla (avaliar a integral iterada na ordem dada).

Passo 2

Entender a integração interna. Quando fazemos \int_{1}^{y} x\,y \, dx, tratamos y como constante porque a integração é em relação a x. Regra usada: se c é constante, então \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx. Aqui c=y e f(x)=x.
A primitiva (antiderivada) de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}, pois derivando \dfrac{x^{2}}{2} obtemos x. Assim,
\int x\,y \, dx = y\int x\,dx = y\cdot \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Avaliar a primitiva nos limites x=1 e x=y. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{y} x\,y \, dx = \left. y\cdot \frac{x^{2}}{2}\right|_{x=1}^{x=y} = y\cdot\frac{y^{2}}{2} - y\cdot\frac{1^{2}}{2}.
Simplificando os fatores:
y\cdot\frac{y^{2}}{2} - y\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\bigl(y^{3}-y\bigr).

Passo 4

Substituir o resultado da integração interna na integral externa. Assim precisamos calcular
\int_{2}^{3} \frac{1}{2}\bigl(y^{3}-y\bigr)\, dy.
Aplicando linearidade da integral, podemos colocar o fator \dfrac{1}{2} fora:
\frac{1}{2}\int_{2}^{3}\bigl(y^{3}-y\bigr)\, dy.

Passo 5

Calcular a primitiva da função y^{3}-y. As primitivas termoa termo são:
  • \int y^{3}\,dy=\dfrac{y^{4}}{4} porque derivando \dfrac{y^{4}}{4} obtém-se y^{3}.
  • \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}.
    Portanto
\frac{1}{2}\int\bigl(y^{3}-y\bigr)\,dy = \frac{1}{2}\left(\frac{y^{4}}{4}-\frac{y^{2}}{2}\right) = \frac{y^{4}}{8}-\frac{y^{2}}{4}.
Essa expressão é a primitiva que vamos avaliar nos limites y=2 e y=3.

Passo 6

Avaliar a primitiva em y=3 e em y=2 e subtrair:
  • Para y=3:
\frac{y^{4}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=\frac{3^{4}}{8}-\frac{3^{2}}{4}=\frac{81}{8}-\frac{9}{4}=\frac{81}{8}-\frac{18}{8}=\frac{63}{8}.
  • Para y=2:
\frac{y^{4}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=\frac{2^{4}}{8}-\frac{2^{2}}{4}=\frac{16}{8}-\frac{4}{4}=2-1=1.
A diferença (valor da integral) é
\frac{63}{8}-1.

Resposta

\dfrac{55}{8}

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