Exercício 8. Calcule \int_{2}^{3} \int_{1}^{y} x y d x d y.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada abaixo:
\int_{2}^{3}\int_{1}^{y} x\,y \, dx\, dy.
Informações dadas:
A função integranda é x\,y.
A integração interna é em relação a x, com limite inferior x=1 e superior x=y.
A integração externa é em relação a y, com limite inferior y=2 e superior y=3.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla (avaliar a integral iterada na ordem dada).
Passo 2
Entender a integração interna. Quando fazemos \int_{1}^{y} x\,y \, dx, tratamos y como constante porque a integração é em relação a x. Regra usada: se c é constante, então \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx. Aqui c=y e f(x)=x.
A primitiva (antiderivada) de x em relação a x é \dfrac{x^{2}}{2}, pois derivando \dfrac{x^{2}}{2} obtemos x. Assim,