Exercício 7. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde os limites estão explícitos:
varia de
a
e
varia de
a
. Ou seja, a integral é
As perguntas são: calcular essa integral dupla e apresentar o valor numérico final.
Passo 2
Observação importante e técnica que facilita muito: a função integrando é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
:
com
e
. Como a região de integração é um retângulo (produto de intervalos em
e
), a integral dupla fatoriza em produto de integrais simples (isso é uma consequência direta do Teorema de Fubini para funções integráveis). Logo:
Vou calcular cada uma dessas integrais simples separadamente.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro use a identidade do ângulo duplo para transformar
numa forma fácil de integrar:
Substituindo:
Agora integramos termo a termo. Para o primeiro termo:
Para o segundo termo, use uma primitiva de
, que é
:
Como
e
, o segundo termo é zero. Portanto
Passo 4
Calcular
.
A primitiva de
é
. Logo
Calculando os cossenos:
e
. Assim
Passo 5
Multiplicando os resultados das duas integrais simples, pela fatorização do Passo 2, obtemos o valor da integral dupla:
Portanto a integral dupla vale
.