Exercício 7. Calcule \int_{\pi}^{2 \pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{2 \pi} \cos ^{2}(x) \operatorname{sen}(y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(y)\,dx\,dy
onde os limites estão explícitos: x varia de \pi a 2\pi e y varia de \tfrac{\pi}{2} a 2\pi. Ou seja, a integral é
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(y)\,dx\,dy.
As perguntas são: calcular essa integral dupla e apresentar o valor numérico final.

Passo 2

Observação importante e técnica que facilita muito: a função integrando é produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y:
\cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(y) = f(x)\,g(y),
com f(x)=\cos^{2}(x) e g(y)=\operatorname{sen}(y). Como a região de integração é um retângulo (produto de intervalos em x e y), a integral dupla fatoriza em produto de integrais simples (isso é uma consequência direta do Teorema de Fubini para funções integráveis). Logo:
\int_{\pi}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(y)\,dx\,dy = \left(\int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,dx\right) \left(\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \operatorname{sen}(y)\,dy\right).
Vou calcular cada uma dessas integrais simples separadamente.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,dx.
Primeiro use a identidade do ângulo duplo para transformar \cos^{2}(x) numa forma fácil de integrar:
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1 \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Substituindo:
\int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,dx = \int_{\pi}^{2\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{\pi}^{2\pi} 1\,dx +\frac{1}{2}\int_{\pi}^{2\pi} \cos(2x)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Para o primeiro termo:
\frac{1}{2}\int_{\pi}^{2\pi} 1\,dx = \frac{1}{2}\bigl[ x \bigr]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2}(2\pi-\pi)=\frac{\pi}{2}.
Para o segundo termo, use uma primitiva de \cos(2x), que é \tfrac{1}{2}\sin(2x):
\frac{1}{2}\int_{\pi}^{2\pi} \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{\pi}^{2\pi} =\frac{1}{4}\bigl(\sin(4\pi)-\sin(2\pi)\bigr).
Como \sin(2\pi)=0 e \sin(4\pi)=0, o segundo termo é zero. Portanto
\int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,dx = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \operatorname{sen}(y)\,dy.
A primitiva de \operatorname{sen}(y) é -\cos(y). Logo
\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \operatorname{sen}(y)\,dy = \bigl[-\cos(y)\bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} = -\cos(2\pi) -\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Calculando os cossenos: \cos(2\pi)=1 e \cos(\tfrac{\pi}{2})=0. Assim
\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \operatorname{sen}(y)\,dy = -1 - ( -0) = -1.

Passo 5

Multiplicando os resultados das duas integrais simples, pela fatorização do Passo 2, obtemos o valor da integral dupla:
\left(\int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2}(x)\,dx\right)\left(\int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi} \operatorname{sen}(y)\,dy\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot(-1).
Portanto a integral dupla vale -\dfrac{\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{2}

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