Exercício 11. Calcule:
\sin \left(\frac{\pi}{6}\right), \quad \cos \left(\frac{\pi}{3}\right), \quad \tan \left(\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedem para calcular: \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right),\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right),\qquad \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
  • Converter os ângulos para graus (útil para visualizar): \frac{\pi}{6}=30^\circ,\qquad \frac{\pi}{3}=60^\circ,\qquad \frac{\pi}{4}=45^\circ.

Passo 2

Definições fundamentais (lembrete passo a passo, sem pular etapas):
  • Em um triângulo retângulo, para um ângulo agudo \theta: \sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
  • Relação útil: \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.
Vou usar essas definições construindo triângulos especiais para os ângulos dados (30°, 60°, 45°).

Passo 3

Cálculo de \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin(30^\circ) usando um triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ:
  • Constrói-se um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtém-se dois triângulos retângulos iguais com ângulos 30^\circ,60^\circ,90^\circ.
  • Na metade do triângulo equilátero:
    • hipotenusa =2,
    • metade da base =1 (esse é o cateto oposto ao ângulo 30^\circ),
    • altura =\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3} (esse é o cateto adjacente ao ângulo 30^\circ).
  • Aplicando definição de seno: \sin(30^\circ)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{2}.
Portanto
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ) usando o mesmo triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ:
  • No mesmo triângulo, para o ângulo 60^\circ:
    • cateto adjacente =1,
    • hipotenusa =2.
  • Aplicando definição de cosseno: \cos(60^\circ)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{2}.
Portanto
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo de \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan(45^\circ) usando um triângulo isósceles retângulo 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ:
  • Considere um triângulo retângulo com os catetos iguais, por exemplo catetos =1. A hipotenusa vale \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • Para \theta=45^\circ: \tan(45^\circ)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{1}{1}=1.
Alternativamente, usando \tan=\dfrac{\sin}{\cos}: em 45^\circ tem-se \sin(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
\tan(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1.
Portanto
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.

Resposta

\dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{2}
1

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