Exercício 8. Resolva
\ln (x-1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
\ln(x-1)=2.
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A função \ln (logaritmo natural) só está definida quando o argumento é positivo, então é necessário ter x-1>0, ou seja x>1. Essa condição é obrigatória e deve ser verificada pela solução.

Passo 2

Entender o que significa \ln. O logaritmo natural \ln(y) é o número t tal que
e^{t}=y,
onde e é a base dos logaritmos naturais (constante e\approx2,7182818\ldots). Em palavras: \ln(y)=t se e somente se y=e^{t}.
Propriedades importantes que vamos usar:
  • A função exponencial e^{(\cdot)} e o logaritmo natural \ln(\cdot) são inversos entre si no domínio positivo, isto é, para todo a>0 vale
e^{\ln(a)}=a \qquad\text{e}\qquad \ln(e^{a})=a.
  • Lembrar sempre da condição de existência: só podemos aplicar \ln a números positivos.

Passo 3

Aplicar a operação inversa do \ln: exponenciar ambos os lados com base e. Assim,
e^{\ln(x-1)} = e^{2}.
Pelo fato e^{\ln(a)}=a (válido quando a>0), obtemos
x-1 = e^{2}.

Passo 4

Isolar x. Somando 1 em ambos os lados:
x = 1 + e^{2}.
Antes de aceitar, verificar a condição de domínio: x-1 = e^{2}>0, logo x>1. Portanto a solução respeita a condição x>1.

Passo 5

Verificação direta: substituir x na equação original:
\ln(x-1)=\ln(e^{2})=2,
portanto a solução está correta.

Resposta

x = 1 + e^{2}
x \approx 8,389056099

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