Exercício 13. Determine o período da função f(x)=\cos (3 x).
Hint: Como o fator 3 afeta o período?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos(3x) e pede para determinar o período dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos(3x).
  • A pergunta é: qual é o menor T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x?

Passo 2

Definição de período (explicação didática): uma função g é periódica com período T>0 se, para todo x,
g(x+T)=g(x).
O menor T>0 que satisfaz isso é chamado período fundamental. Aqui queremos o período fundamental de f(x)=\cos(3x). Pense em T como o “passo” no eixo x que faz a função repetir seu valor.

Passo 3

Conhecimento básico sobre o cosseno (mini-aula): a função \cos tem período 2\pi. Isso significa que, para todo número real y,
\cos(y+2\pi)=\cos(y).
Geometricamente, no círculo unitário, somar 2\pi a um ângulo dá a mesma posição, por isso o cosseno se repete a cada 2\pi.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso f(x)=\cos(3x): queremos T>0 tal que, para todo x,
\cos\bigl(3(x+T)\bigr)=\cos(3x).
Isso é equivalente a
\cos(3x+3T)=\cos(3x).
Sabendo que \cos se repete quando se soma um múltiplo inteiro de 2\pi, a igualdade acima ocorre sempre que
3T=2\pi n
para algum inteiro n\in\mathbb{Z}. Essa equação vem de exigir que o incremento em 3x seja um múltiplo de 2\pi.

Passo 5

Determinar o menor T>0: da equação 3T=2\pi n temos
T=\frac{2\pi n}{3}.
Queremos o menor T>0, então escolhemos o menor inteiro positivo n, que é n=1. Portanto o menor T>0 é
T=\frac{2\pi}{3}.
Observação didática: n=0 T=0 (trivial, não serve), e n\ge2 dá valores maiores; se o coeficiente na frente de x fosse negativo, usar-se-ia o valor absoluto do coeficiente — em geral, para \cos(kx) o período fundamental é \dfrac{2\pi}{|k|}.

Passo 6

Verificação rápida (cheiro de certeza): calcule f(x+T) com T=\dfrac{2\pi}{3}:
f\!\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(3x+3\cdot\frac{2\pi}{3}\right)=\cos(3x+2\pi)=\cos(3x)=f(x),
pois \cos(3x+2\pi)=\cos(3x). Exemplo numérico: para x=0, f(0)=\cos 0=1 e f\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\cos(2\pi)=1, condizente.

Passo 7

Resumo pedagógico e fórmula geral: o fator 3 dentro do argumento acelera a repetição da função em x em um fator 3. Em geral, para \cos(kx) o período fundamental é
\frac{2\pi}{|k|}.
No nosso caso, k=3, então o período é \dfrac{2\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

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