Exercício 13. Determine o período da função
.
Hint: Como o fator 3 afeta o período?
Hint: Como o fator 3 afeta o período?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o período dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: qual é o menor
tal que para todo ?
Passo 2
Definição de período (explicação didática): uma função
é periódica com período
se, para todo
,
O menor
que satisfaz isso é chamado período fundamental. Aqui queremos o período fundamental de
. Pense em
como o “passo” no eixo
que faz a função repetir seu valor.
Passo 3
Conhecimento básico sobre o cosseno (mini-aula): a função
tem período
. Isso significa que, para todo número real
,
Geometricamente, no círculo unitário, somar
a um ângulo dá a mesma posição, por isso o cosseno se repete a cada
.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso
: queremos
tal que, para todo
,
Isso é equivalente a
Sabendo que
se repete quando se soma um múltiplo inteiro de
, a igualdade acima ocorre sempre que
para algum inteiro
. Essa equação vem de exigir que o incremento em
seja um múltiplo de
.
Passo 5
Determinar o menor
: da equação
temos
Queremos o menor
, então escolhemos o menor inteiro positivo
, que é
. Portanto o menor
é
Observação didática:
dá
(trivial, não serve), e
dá valores maiores; se o coeficiente na frente de
fosse negativo, usar-se-ia o valor absoluto do coeficiente — em geral, para
o período fundamental é
.
Passo 6
Verificação rápida (cheiro de certeza): calcule
com
:
pois
. Exemplo numérico: para
,
e
, condizente.
Passo 7
Resumo pedagógico e fórmula geral: o fator
dentro do argumento acelera a repetição da função em
em um fator
. Em geral, para
o período fundamental é
No nosso caso,
, então o período é
.