Exercício 11. Considere
.
a) Prove que
.
b) Conclua, utilizando o item a), que
.
a) Prove que
b) Conclua, utilizando o item a), que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar a desigualdade
- (b) Usando (a), concluir que
Observação importante: a fração
está bem definida para todo
com
, pois
só ocorre em
. Nas provas a desigualdade em (a) costuma ser entendida para todos os
. Vou provar (a) nesse contexto e depois usar (a) para (b).
Passo 2
Provar a parte esquerda da desigualdade:
.
Explicação e demonstração passo a passo:
-
é um quadrado real, logo . -
também é ≥0, então . Para temos . - Se o numerador é ≥0 e o denominador é >0, então a razão é ≥0. Logo
Breve comentário didático: sempre que tiver quadrados, eles são não negativos; isso é a base da primeira desigualdade.
Passo 3
Provar a parte direita da desigualdade:
.
Explicação e demonstração passo a passo:
- Observe a desigualdade equivalente (multiplicando ambos os lados por
):
- A desigualdade
é óbvia, pois . Subtraindo dos dois lados fica , verdade. - Portanto
Resumo do Passo 2 e 3: juntando, para todo
vale
Passo 4
Reescrever
de forma útil para usar (a) e preparar a aplicação do teorema do confronto (squeeze).
Observação e manipulação algébrica:
- Factorizar
para escrever
- Isto é uma reescrita simples que separa um fator
(que tende a quando ) e o fator que, pelo item (a), está entre e .
Passo 5
Usar a desigualdade de (a) para obter um limite superior em módulo para
.
Explicação e cálculo:
- Pelo Passo 4 e pela desigualdade
temos, tomando valor absoluto,
- Então uma estimativa chave é
Agora precisamos mostrar que
quando
. Para isso usamos uma desigualdade simples que relaciona produto e soma de quadrados.
Passo 6
Mostrar que
é controlado por
e concluir o limite por confronto.
Explicação didática da desigualdade:
- Uma desigualdade clássica fácil de provar é
. Para ver isso: para quaisquer números reais ,
ou seja
. Dividindo por
vem
. Como
, a desigualdade é provada.
- Usando isso juntamente com o resultado do Passo 5 obtemos
Aplicação do teorema do confronto (squeeze):
- Sabemos que
quando , pois é a norma quadrada que tende a . - Como
para pontos suficientemente próximos de , o teorema do confronto garante que . - Logo
quando .
Breve lembrete didático sobre o teorema do confronto: se
e
e
então
. Aqui usamos
,
e
, ou de forma mais direta trabalhamos com módulos e chegamos a
.
Passo 7
Pequena recapitulação e incentivo final (rapidinho):
- Mostramos em (a) que o fator
fica entre e . - Com isso reescrevemos
e obtivemos . - Depois usamos
e o teorema do confronto para concluir que . - Pronto! É um raciocínio direto: isolar um fator que tende a zero e dominar o resto por uma constante; técnica muito útil em limites de funções de várias variáveis. Você está indo bem — esse tipo de argumento aparece sempre em provas.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) .
(b)