Exercício 11. Considere f(x, y)=\frac{x y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}.
a) Prove que 0 \leq \frac{y^{2}}{2 x^{2}+y^{2}} \leq 1.
b) Conclua, utilizando o item a), que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{x\,y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar a desigualdade
0 \leq \frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \leq 1.
  • (b) Usando (a), concluir que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Observação importante: a fração \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} está bem definida para todo (x,y) com (x,y)\neq(0,0), pois 2x^{2}+y^{2}=0 só ocorre em (0,0). Nas provas a desigualdade em (a) costuma ser entendida para todos os (x,y)\neq(0,0). Vou provar (a) nesse contexto e depois usar (a) para (b).

Passo 2

Provar a parte esquerda da desigualdade: 0 \leq \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}.
Explicação e demonstração passo a passo:
  • y^{2} é um quadrado real, logo y^{2}\ge 0.
  • 2x^{2} também é ≥0, então 2x^{2}+y^{2}\ge 0. Para (x,y)\neq(0,0) temos 2x^{2}+y^{2}>0.
  • Se o numerador é ≥0 e o denominador é >0, então a razão é ≥0. Logo
0 \leq \frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \quad\text{para todo }(x,y)\neq(0,0).
Breve comentário didático: sempre que tiver quadrados, eles são não negativos; isso é a base da primeira desigualdade.

Passo 3

Provar a parte direita da desigualdade: \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \le 1.
Explicação e demonstração passo a passo:
  • Observe a desigualdade equivalente (multiplicando ambos os lados por 2x^{2}+y^{2}>0):
\frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2} \le 2x^{2}+y^{2}.
  • A desigualdade y^{2} \le 2x^{2}+y^{2} é óbvia, pois 2x^{2}\ge 0. Subtraindo y^{2} dos dois lados fica 0 \le 2x^{2}, verdade.
  • Portanto
\frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \le 1 \quad\text{para todo }(x,y)\neq(0,0).
Resumo do Passo 2 e 3: juntando, para todo (x,y)\neq(0,0) vale
0 \leq \frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \leq 1.

Passo 4

Reescrever f de forma útil para usar (a) e preparar a aplicação do teorema do confronto (squeeze).
Observação e manipulação algébrica:
  • Factorizar y^{3}=y\cdot y^{2} para escrever
f(x,y)=\frac{x\,y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} = (x\,y)\cdot\frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}.
  • Isto é uma reescrita simples que separa um fator (x\,y) (que tende a 0 quando (x,y)\to(0,0)) e o fator \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} que, pelo item (a), está entre 0 e 1.

Passo 5

Usar a desigualdade de (a) para obter um limite superior em módulo para |f(x,y)|.
Explicação e cálculo:
  • Pelo Passo 4 e pela desigualdade 0\le \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}\le 1 temos, tomando valor absoluto,
|f(x,y)| = |x\,y|\cdot\frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \le |x\,y|\cdot 1 = |x\,y|.
  • Então uma estimativa chave é
|f(x,y)| \le |x\,y|.
Agora precisamos mostrar que |x\,y|\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Para isso usamos uma desigualdade simples que relaciona produto e soma de quadrados.

Passo 6

Mostrar que |x\,y| é controlado por x^{2}+y^{2} e concluir o limite por confronto.
Explicação didática da desigualdade:
  • Uma desigualdade clássica fácil de provar é |x\,y| \le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}. Para ver isso: para quaisquer números reais x,y,
(|x|-|y|)^{2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad |x|^{2} + |y|^{2} - 2|x||y| \ge 0,
ou seja 2|x||y| \le x^{2}+y^{2}. Dividindo por 2 vem |x||y| \le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}. Como |x\,y|=|x||y|, a desigualdade é provada.
  • Usando isso juntamente com o resultado do Passo 5 obtemos
|f(x,y)| \le |x\,y| \le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Aplicação do teorema do confronto (squeeze):
  • Sabemos que \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), pois x^{2}+y^{2} é a norma quadrada que tende a 0.
  • Como 0\le |f(x,y)| \le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2} para pontos suficientemente próximos de (0,0), o teorema do confronto garante que |f(x,y)|\to 0.
  • Logo f(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0).
Breve lembrete didático sobre o teorema do confronto: se g(h)\le f(h)\le h(h) e g(h)\to L e h(h)\to L então f(h)\to L. Aqui usamos g\equiv -\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}, f= f e h\equiv \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}, ou de forma mais direta trabalhamos com módulos e chegamos a 0.

Passo 7

Pequena recapitulação e incentivo final (rapidinho):
  • Mostramos em (a) que o fator \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} fica entre 0 e 1.
  • Com isso reescrevemos f=(x\,y)\cdot\frac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} e obtivemos |f|\le |x\,y|.
  • Depois usamos |x\,y|\le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2} e o teorema do confronto para concluir que f(x,y)\to 0.
  • Pronto! É um raciocínio direto: isolar um fator que tende a zero e dominar o resto por uma constante; técnica muito útil em limites de funções de várias variáveis. Você está indo bem — esse tipo de argumento aparece sempre em provas.

Resposta

(a) 0 \leq \dfrac{y^{2}}{2x^{2}+y^{2}} \leq 1 para todo (x,y)\neq(0,0).
(b) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

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