Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função.
Informações dadas:
- A função é
.
Passo 2
O que é o domínio de uma função e como decidir o domínio aqui.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Problemas típicos que restringem domínio são divisões por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos de não-positivos, etc.
No caso de
, a função
está definida para todo
(não há divisão por zero nem raiz nem log). Aqui o argumento do cosseno é
, que também é definido para qualquer
. A multiplicação por
e a soma com
não introduzem restrições.
Conclusão lógica: não há restrições, logo o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Determinar parâmetros importantes do cosseno transformado (fórmulas e significado).
A forma geral que usamos é
, onde:
-
é a amplitude (distância máxima da linha média até o máximo). -
está associado ao período: o período é . -
provoca uma translação horizontal (deslocamento de fase); a fase (deslocamento) em relação a é . -
é o deslocamento vertical (a linha média fica em ).
Cada variável:
-
: amplitude . -
: controla a frequência. -
: fase. -
: translação vertical.
Passo 4
Aplicar as fórmulas à nossa função
.
Identificação dos parâmetros comparando com
:
-
→ amplitude . - Escrever
como , então e . -
→ linha média .
Agora calcular:
- Período:
. - Deslocamento horizontal (fase):
. Isso significa que a função foi deslocada para a direita em . - Linha média:
.
Portanto em palavras: é um cosseno padrão com amplitude, período , deslocado para a direita e elevado unidades para cima.
Passo 5
Encontrar a imagem (intervalo/contradomínio efetivo) e os máximos/mínimos.
Saber:
para todo
.
Multiplicando por
e somando
:
Logo:
- Valor máximo
. - Valor mínimo
. - Intervalo imagem
.
Passo 6
Encontrar pontos-chave (úteis para esboçar) dentro de um período e interpretar.
Queremos os
em que o cosseno assume valores simples:
. Seja
.
- Máximos:
ocorre quando . Assim
e nesses
temos
.
- Zeros da variação em torno da média (quando
): em . Assim
e nesses
temos
(a linha média).
- Mínimos:
em . Assim
e nesses
temos
.
Para um período com
os pontos ficam:
-
, (máximo). -
, . -
, (mínimo). -
, . -
, (próximo máximo).
Passo 7
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas que dá pra fazer na prova sem calcular demais).
- Desenhe os eixos
e . - Trace a linha média horizontal
. - Marque sobre o eixo
a posição (para a direita da origem). A partir dela marque intervalos de comprimento (ou de se preferir), porque corresponde a quarto de período ( ). - Nas abscissas encontradas coloque os pontos-chave calculados:
- Em
: ponto no topo . - Em
: ponto na linha média . - Em
: ponto mínimo . - Em
: linha média . - Em
: máximo .
- Em
- Ligue esses pontos por uma curva suave em forma de onda cossenoide (começando num máximo em
, depois decresce até a linha média, atinge o mínimo, sobe à linha média e volta ao máximo). - Repita para mais períodos à esquerda e à direita conforme necessário.
Observação prática: marcar a linha média
e as alturas
e
ajuda a manter amplitude e deslocamento corretos.
Passo 8
Interpretação final e dicas de prova
- Em qualquer prova, identificar rapidamente
na forma dá quase tudo que precisa: domínio, período, amplitude, deslocamentos e imagem. - Para esboço: sempre comece pela linha média e pelos máximos/mínimos que são fáceis de achar através de
. - Dica de cálculo mental: como
, não há compressão horizontal — o período é o padrão , só houve deslocamento para a direita por .
Resposta
Domínio máximo:
Esboço (características principais): amplitude , período
, deslocamento horizontal para a direita de
, deslocamento vertical para cima de
; imagem
; pontos-chave por período:
.
Esboço (características principais): amplitude