Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=3 \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \,f(x)=3\cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+3\::
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+3.

Passo 2

O que é o domínio de uma função e como decidir o domínio aqui.
Explicação didática: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Problemas típicos que restringem domínio são divisões por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos de não-positivos, etc.
No caso de \cos, a função \cos(t) está definida para todo t\in\mathbb{R} (não há divisão por zero nem raiz nem log). Aqui o argumento do cosseno é t=x-\dfrac{\pi}{4}, que também é definido para qualquer x\in\mathbb{R}. A multiplicação por 3 e a soma com 3 não introduzem restrições.
Conclusão lógica: não há restrições, logo o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Determinar parâmetros importantes do cosseno transformado (fórmulas e significado).
A forma geral que usamos é \,f(x)=A\cos(Bx+C)+D, onde:
  • A é a amplitude (distância máxima da linha média até o máximo).
  • B está associado ao período: o período é \dfrac{2\pi}{|B|}.
  • C provoca uma translação horizontal (deslocamento de fase); a fase (deslocamento) em relação a x é -\dfrac{C}{B}.
  • D é o deslocamento vertical (a linha média fica em y=D).
Cada variável:
  • A\in\mathbb{R}\setminus\{0\}: amplitude |A|.
  • B\in\mathbb{R}\setminus\{0\}: controla a frequência.
  • C\in\mathbb{R}: fase.
  • D\in\mathbb{R}: translação vertical.

Passo 4

Aplicar as fórmulas à nossa função \,f(x)=3\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+3\:.
Identificação dos parâmetros comparando com A\cos(Bx+C)+D:
  • A=3 → amplitude |A|=3.
  • Escrever x-\dfrac{\pi}{4} como 1\cdot x + \left(-\dfrac{\pi}{4}\right), então B=1 e C=-\dfrac{\pi}{4}.
  • D=3 → linha média y=3.
Agora calcular:
  • Período: \dfrac{2\pi}{|B|}=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi.
  • Deslocamento horizontal (fase): -\dfrac{C}{B}=-\dfrac{-\pi/4}{1}=\dfrac{\pi}{4}. Isso significa que a função \cos(x) foi deslocada para a direita em \dfrac{\pi}{4}.
  • Linha média: y=3.
    Portanto em palavras: é um cosseno padrão com amplitude 3, período 2\pi, deslocado \dfrac{\pi}{4} para a direita e elevado 3 unidades para cima.

Passo 5

Encontrar a imagem (intervalo/contradomínio efetivo) e os máximos/mínimos.
Saber: \cos(t)\in[-1,1] para todo t.
Multiplicando por 3 e somando 3:
3\cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\in[-3,3],
f(x)=3\cos\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+3\in[-3+3,\,3+3]=[0,6].
Logo:
  • Valor máximo f_{\max}=6.
  • Valor mínimo f_{\min}=0.
  • Intervalo imagem \,[0,6].

Passo 6

Encontrar pontos-chave (úteis para esboçar) dentro de um período e interpretar.
Queremos os x em que o cosseno assume valores simples: 1,0,-1. Seja t=x-\dfrac{\pi}{4}.
  • Máximos: \cos t=1 ocorre quando t=2k\pi. Assim
x-\frac{\pi}{4}=2k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,
e nesses x temos f(x)=6.
  • Zeros da variação em torno da média (quando \cos t=0): \cos t=0 em t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Assim
x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+k\pi=\frac{3\pi}{4}+k\pi,
e nesses x temos f(x)=3 (a linha média).
  • Mínimos: \cos t=-1 em t=(2k+1)\pi. Assim
x-\frac{\pi}{4}=(2k+1)\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi,
e nesses x temos f(x)=0.
Para um período com k=0 os pontos ficam:
  • x=\dfrac{\pi}{4}, f=6 (máximo).
  • x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4}, f=3.
  • x=\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4}, f=0 (mínimo).
  • x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{4}, f=3.
  • x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{9\pi}{4}, f=6 (próximo máximo).

Passo 7

Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas que dá pra fazer na prova sem calcular demais).
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a linha média horizontal y=3.
  3. Marque sobre o eixo x a posição x=\dfrac{\pi}{4} (para a direita da origem). A partir dela marque intervalos de comprimento \dfrac{\pi}{2} (ou de \pi se preferir), porque \dfrac{\pi}{2} corresponde a quarto de período ( 2\pi/4).
  4. Nas abscissas encontradas coloque os pontos-chave calculados:
    • Em x=\dfrac{\pi}{4}: ponto no topo y=6.
    • Em x=\dfrac{3\pi}{4}: ponto na linha média y=3.
    • Em x=\dfrac{5\pi}{4}: ponto mínimo y=0.
    • Em x=\dfrac{7\pi}{4}: linha média y=3.
    • Em x=\dfrac{9\pi}{4}: máximo y=6.
  5. Ligue esses pontos por uma curva suave em forma de onda cossenoide (começando num máximo em x=\dfrac{\pi}{4}, depois decresce até a linha média, atinge o mínimo, sobe à linha média e volta ao máximo).
  6. Repita para mais períodos à esquerda e à direita conforme necessário.
Observação prática: marcar a linha média y=3 e as alturas y=6 e y=0 ajuda a manter amplitude e deslocamento corretos.

Passo 8

Interpretação final e dicas de prova
  • Em qualquer prova, identificar rapidamente A,B,C,D na forma A\cos(Bx+C)+D dá quase tudo que precisa: domínio, período, amplitude, deslocamentos e imagem.
  • Para esboço: sempre comece pela linha média e pelos máximos/mínimos que são fáceis de achar através de \cos t=\pm1.
  • Dica de cálculo mental: como B=1, não há compressão horizontal — o período é o padrão 2\pi, só houve deslocamento para a direita por \dfrac{\pi}{4}.

Resposta

Domínio máximo: \mathbb{R}
Esboço (características principais): amplitude 3, período 2\pi, deslocamento horizontal para a direita de \dfrac{\pi}{4}, deslocamento vertical para cima de 3; imagem [0,6]; pontos-chave por período: \left(\dfrac{\pi}{4},6\right),\left(\dfrac{3\pi}{4},3\right),\left(\dfrac{5\pi}{4},0\right),\left(\dfrac{7\pi}{4},3\right),\left(\dfrac{9\pi}{4},6\right).

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