Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar o domínio máximo da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou seja, dar informação suficiente para desenhá-lo).
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Entender o domínio: a função
está definida para todo
. Aqui o argumento é
. Como
é um número real para qualquer
, não há valores de
que tornem a função indefinida. Portanto o domínio máximo é todo o conjunto dos números reais.
Explicação didática curta: a função seno aceita qualquer número real como entrada; multiplicar a variável por
não cria buracos nem divide por zero, então nada impede qualquer
.
Passo 3
Vamos estudar a forma geral e os parâmetros que controlam o gráfico. A forma geral de uma senoide é
onde:
-
é a amplitude (módulo do fator que multiplica o seno); -
controla a frequência (ou período); -
é o desvio de fase (fase); -
é o deslocamento vertical.
Para a nossa função
identificamos:
Agora as fórmulas úteis:
- Amplitude:
. - Período:
. - Fase:
(aqui é zero). - Deslocamento vertical:
.
Passo 4
Calculemos amplitude e período e interpretemos o sinal negativo:
- Amplitude:
. Isso significa que a função varia unidades acima e abaixo do eixo médio. - Período:
Isto significa que a curva se repete a cada intervalo de comprimento
.
Efeito do fator negativo
: multiplicar
por
reflete a curva em relação ao eixo
. Em particular:
- Onde
a função toma valor (mínimo). - Onde
a função toma valor (máximo).
Passo 5
Encontremos zeros, máximos e mínimos em um período típico, por exemplo no intervalo
, para poder esboçar.
- Zeros: resolver
. Isso acontece quando , com . Logo
No intervalo
os zeros são:
- Pontos de mínimo e máximo:
- Para
temos . Nesses pontos
ou seja, são mínimos . - Para
temos . Nesses pontos
ou seja, são máximos . - Para
No intervalo
especificamente:
Para desenhar sem calculadora, pode usar aproximações:
Passo 6
Instruções passo a passo para esboçar o gráfico (faz como se eu estivesse desenhando no caderno):
- Desenha eixos
e . Marca o eixo em e (esses são os extremos). - Marca no eixo
os pontos (usa as aproximações se quiser). - Coloca os pontos:
-
, -
(mínimo), -
, -
(máximo), -
.
-
- Desenha uma curva suave tipo seno passando por esses pontos: comece em
descendo até em , suba cruzando zero em , atinja em , e volte a zero em . - Repete o padrão para a esquerda e para a direita com período
.
Lembrete visual mental: é a senoide padrão comprimida horizontalmente (período menor) e refletida verticalmente e esticada (amplitude 4).
Passo 7
Resumo das características principais (úteis para a prova):
- Domínio: todo o conjunto dos reais.
- Amplitude:
. - Período:
. - Máximos: valor
em , . - Mínimos: valor
em , . - Zeros:
, . - Reflexão: a negativa provoca inversão em relação ao eixo
.
Resposta
Domínio máximo:
Esboço (descrição): senoide com amplitude , período
, zeros em
, mínimos
em
e máximos
em
,
.
Esboço (descrição): senoide com amplitude