Exercício 11. Determine o domínio máximo e esboce o gráfico das funções abaixo.
f(x)=-4 \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=-4\operatorname{sen}(2x):
  • Determinar o domínio máximo da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou seja, dar informação suficiente para desenhá-lo).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=-4\operatorname{sen}(2x).
  • Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Entender o domínio: a função \operatorname{sen}(t) está definida para todo t\in\mathbb{R}. Aqui o argumento é t=2x. Como 2x é um número real para qualquer x\in\mathbb{R}, não há valores de x que tornem a função indefinida. Portanto o domínio máximo é todo o conjunto dos números reais.
Explicação didática curta: a função seno aceita qualquer número real como entrada; multiplicar a variável por 2 não cria buracos nem divide por zero, então nada impede qualquer x.

Passo 3

Vamos estudar a forma geral e os parâmetros que controlam o gráfico. A forma geral de uma senoide é
y = A\sin(Bx + C) + D,
onde:
  • A é a amplitude (módulo do fator que multiplica o seno);
  • B controla a frequência (ou período);
  • C é o desvio de fase (fase);
  • D é o deslocamento vertical.
Para a nossa função f(x)=-4\operatorname{sen}(2x) identificamos:
A = -4,\quad B = 2,\quad C = 0,\quad D = 0.
Agora as fórmulas úteis:
  • Amplitude: |A|.
  • Período: T=\dfrac{2\pi}{|B|}.
  • Fase: -\dfrac{C}{B} (aqui é zero).
  • Deslocamento vertical: D.

Passo 4

Calculemos amplitude e período e interpretemos o sinal negativo:
  • Amplitude: |A| = |-4| = 4. Isso significa que a função varia 4 unidades acima e abaixo do eixo médio.
  • Período:
T=\frac{2\pi}{|B|}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Isto significa que a curva se repete a cada intervalo de comprimento \pi.
Efeito do fator negativo A=-4: multiplicar \operatorname{sen}(2x) por -1 reflete a curva em relação ao eixo x. Em particular:
  • Onde \operatorname{sen}(2x)=1 a função toma valor -4 (mínimo).
  • Onde \operatorname{sen}(2x)=-1 a função toma valor 4 (máximo).

Passo 5

Encontremos zeros, máximos e mínimos em um período típico, por exemplo no intervalo [0,\pi], para poder esboçar.
  • Zeros: resolver \operatorname{sen}(2x)=0. Isso acontece quando 2x=k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Logo
x=\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0,\pi] os zeros são:
x=0,\quad x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi.
  • Pontos de mínimo e máximo:
    • Para \operatorname{sen}(2x)=1 temos 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi. Nesses pontos
    f\Bigl(\frac{\pi}{4}+k\pi\Bigr)=-4\cdot 1=-4,ou seja, são mínimos -4.
    • Para \operatorname{sen}(2x)=-1 temos 2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+k\pi. Nesses pontos
    f\Bigl(\frac{3\pi}{4}+k\pi\Bigr)=-4\cdot(-1)=4,ou seja, são máximos 4.
No intervalo [0,\pi] especificamente:
f(0)=0,\quad f\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)=-4,\quad f\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)=0,\quad f\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr)=4,\quad f(\pi)=0.
Para desenhar sem calculadora, pode usar aproximações:
\frac{\pi}{4}\approx0,785,\quad \frac{\pi}{2}\approx1,571,\quad \frac{3\pi}{4}\approx2,356,\quad \pi\approx3,142.

Passo 6

Instruções passo a passo para esboçar o gráfico (faz como se eu estivesse desenhando no caderno):
  1. Desenha eixos x e y. Marca o eixo y em y=4 e y=-4 (esses são os extremos).
  2. Marca no eixo x os pontos x=0,\;x=\frac{\pi}{4},\;x=\frac{\pi}{2},\;x=\frac{3\pi}{4},\;x=\pi (usa as aproximações se quiser).
  3. Coloca os pontos:
    • (0,0),
    • \bigl(\frac{\pi}{4},-4\bigr) (mínimo),
    • \bigl(\frac{\pi}{2},0\bigr),
    • \bigl(\frac{3\pi}{4},4\bigr) (máximo),
    • (\pi,0).
  4. Desenha uma curva suave tipo seno passando por esses pontos: comece em 0 descendo até -4 em x=\frac{\pi}{4}, suba cruzando zero em x=\frac{\pi}{2}, atinja 4 em x=\frac{3\pi}{4}, e volte a zero em x=\pi.
  5. Repete o padrão para a esquerda e para a direita com período \pi.
Lembrete visual mental: é a senoide padrão comprimida horizontalmente (período menor) e refletida verticalmente e esticada (amplitude 4).

Passo 7

Resumo das características principais (úteis para a prova):
  • Domínio: todo o conjunto dos reais.
  • Amplitude: 4.
  • Período: \pi.
  • Máximos: valor 4 em x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Mínimos: valor -4 em x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Zeros: x=\dfrac{k\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}.
  • Reflexão: a negativa provoca inversão em relação ao eixo x.

Resposta

Domínio máximo: (-\infty,\infty)
Esboço (descrição): senoide com amplitude 4, período \pi, zeros em x=\dfrac{k\pi}{2}, mínimos -4 em x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi e máximos 4 em x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

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