Exercício 9. Determine os quatro menores números positivos
tais que:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os quatro menores números positivos
que satisfazem a equação
Informações dadas e objetivo claro:
- Dado: a igualdade
. - Pedido: encontrar os quatro menores valores de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Coseno é periódico de período
. Isso significa que, se é solução, então também é solução para qualquer . - Coseno é uma função par:
. Por isso, se é um ângulo com , então também tem o mesmo cosseno (mas pode ser negativo). - Regra prática (resultado padrão): se
então todas as soluções são
Essa fórmula vem do fato de que, no círculo trigonométrico, o mesmo valor de cosseno aparece em dois pontos simétricos em relação ao eixo vertical, e repetido a cada
.
Passo 3
Encontrar o ângulo principal
tal que
.
- Conhecimento padrão de ângulos notáveis:
. Pode-se ver isso no triângulo - - : no triângulo retângulo com hipotenusa , o cateto adjacente ao ângulo (ou seja, cateto oposto a ) tem comprimento ; como , temos . - Portanto um ângulo que resolve é
.
Passo 4
Escrever a solução geral usando a fórmula do passo 2 com
:
Agora vamos listar os valores positivos gerados por essa fórmula em ordem crescente até obter os quatro primeiros.
Passo 5
Gerar e ordenar soluções positivas (passo a passo):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora listamos os positivos obtidos e ordenamos do menor para o maior:
Para ter certeza da ordem, podemos comparar aproximando
:
Logo os quatro menores positivos são, em ordem crescente,
,
,
e
.
Passo 6
Resumo final e incentivo: achamos a solução geral e selecionamos os quatro primeiros valores positivos. Você viu aqui como usar a fórmula
e reconhecer o ângulo notável
. Se tiver dúvida sobre por que a fórmula vale, eu explico com desenho do círculo trigonométrico — mas já está tudo certo para aplicar na prova!