Exercício 9. Determine os quatro menores números positivos x \in \mathbb{R} tais que:
\cos x=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os quatro menores números positivos x\in\mathbb{R} que satisfazem a equação
\cos x = \tfrac{1}{2}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Dado: a igualdade \cos x = \tfrac{1}{2}.
  • Pedido: encontrar os quatro menores valores de x>0 que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Coseno é periódico de período 2\pi. Isso significa que, se x_0 é solução, então x_0+2k\pi também é solução para qualquer k\in\mathbb{Z}.
  • Coseno é uma função par: \cos(-t)=\cos t. Por isso, se \alpha é um ângulo com \cos\alpha=\tfrac{1}{2}, então -\alpha também tem o mesmo cosseno (mas pode ser negativo).
  • Regra prática (resultado padrão): se \cos x=\cos\alpha então todas as soluções são
x = 2k\pi \pm \alpha,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essa fórmula vem do fato de que, no círculo trigonométrico, o mesmo valor de cosseno aparece em dois pontos simétricos em relação ao eixo vertical, e repetido a cada 2\pi.

Passo 3

Encontrar o ângulo principal \alpha tal que \cos\alpha=\tfrac{1}{2}.
  • Conhecimento padrão de ângulos notáveis: \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}. Pode-se ver isso no triângulo 30^\circ- 60^\circ- 90^\circ: no triângulo retângulo com hipotenusa 1, o cateto adjacente ao ângulo 60^\circ (ou seja, cateto oposto a 30^\circ) tem comprimento \tfrac{1}{2}; como \tfrac{\pi}{3}=60^\circ, temos \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}.
  • Portanto um ângulo que resolve é \alpha=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Escrever a solução geral usando a fórmula do passo 2 com \alpha=\tfrac{\pi}{3}:
x = 2k\pi \pm \tfrac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora vamos listar os valores positivos gerados por essa fórmula em ordem crescente até obter os quatro primeiros.

Passo 5

Gerar e ordenar soluções positivas (passo a passo):
  • Para k=0: x = 2\cdot0\pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\pi}{3}\quad(\text{positivo}),
x = 2\cdot0\pi - \tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{\pi}{3}\quad(\text{negativo, descartar}).
  • Para k=1: x = 2\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{6\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{3}\quad(\text{positivo}),
x = 2\pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{6\pi}{3}+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{7\pi}{3}\quad(\text{positivo}).
  • Para k=2: x = 4\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{12\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{11\pi}{3}\quad(\text{positivo}),
x = 4\pi + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{13\pi}{3}\quad(\text{positivo, mas maior que alguns acima}).
Agora listamos os positivos obtidos e ordenamos do menor para o maior:
\tfrac{\pi}{3},\\ \tfrac{5\pi}{3},\\ \tfrac{7\pi}{3},\\ \tfrac{11\pi}{3},\\ \tfrac{13\pi}{3},\\ \ldots
Para ter certeza da ordem, podemos comparar aproximando \pi\approx3{,}1416:
\tfrac{\pi}{3}\approx1{,}0472,\quad \tfrac{5\pi}{3}\approx5{,}2360,\quad \tfrac{7\pi}{3}\approx7{,}3304,\quad \tfrac{11\pi}{3}\approx11{,}5192.
Logo os quatro menores positivos são, em ordem crescente, \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}, \tfrac{7\pi}{3} e \tfrac{11\pi}{3}.

Passo 6

Resumo final e incentivo: achamos a solução geral e selecionamos os quatro primeiros valores positivos. Você viu aqui como usar a fórmula x=2k\pi\pm\alpha e reconhecer o ângulo notável \tfrac{\pi}{3}. Se tiver dúvida sobre por que a fórmula vale, eu explico com desenho do círculo trigonométrico — mas já está tudo certo para aplicar na prova!

Resposta

\dfrac{\pi}{3}
\dfrac{5\pi}{3}
\dfrac{7\pi}{3}
\dfrac{11\pi}{3}

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