Exercício 11. O eixo do carro de carga está sujeito a carregamentos de roda de 100 kN . Se for apoiado por dois mancais radiais em C e D , determine a tensão de flexão máxima desenvolvida no centro do eixo, onde o diâmetro é de 137,5 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de flexão máxima desenvolvida no centro do eixo, onde o diâmetro é 137,5\\ \text{mm}.
Informações fornecidas (peguei esses números da figura):
  • Há duas cargas de roda iguais: 100\\ \text{kN} e 100\\ \text{kN}.
  • As duas cargas estão separadas entre si por 1,500\\ \text{m}.
  • Cada carga está a 250\\ \text{mm} do mancal correspondente (ou seja, a 0,250\\ \text{m} do apoio), de modo que a distância entre os dois mancais é L = 0,250 + 1,500 + 0,250 = 2,000\\ \text{m}.
  • O diâmetro do eixo no centro (onde queremos a tensão) é d = 137,5\\ \text{mm} = 0,1375\\ \text{m}.
O que será feito (só identificando aqui): primeiro calcular reações nos mancais por equilíbrio estático; depois obter o momento fletor no centro do eixo; por fim transformar esse momento em tensão usando a fórmula de flexão para seção circular.

Passo 2

Calcular as reações nos mancais por equilíbrio estático (configuração simétrica).
Justificativa curta: a carga é simétrica (duas cargas iguais a distâncias simétricas em relação ao centro do eixo), portanto as reações nos dois mancais são iguais e cada reação suporta metade da carga total.
Total das cargas aplicadas: 100\\ \text{kN}+100\\ \text{kN}=200\\ \text{kN}.
Logo, cada reação vale
R_C=R_D=\frac{200\\ \text{kN}}{2}=100\\ \text{kN}.

Passo 3

Determinar o momento fletor no centro do eixo (ponto médio entre as duas cargas).
Posicionamento: tomar a origem no mancal esquerdo C. Então:
  • mancal C em x=0,
  • primeira carga (esquerda) em x=0,250\\ \text{m},
  • centro do eixo (meio entre as cargas) em x=1,000\\ \text{m},
  • segunda carga (direita) em x=1,750\\ \text{m},
  • mancal D em x=2,000\\ \text{m}.
Corte à direita do apoio C e à esquerda da primeira carga até o centro: o momento no centro devido às forças à esquerda é
M_{centro}=R_C\cdot(1,000\\ \text{m}) - 100\\ \text{kN}\cdot(1,000-0,250)\\ \text{m}.
Calcular numericamente (usar kN·m e depois converter para N·m):
M_{centro}=100\\ \text{kN}\cdot1,000\\ \text{m} - 100\\ \text{kN}\cdot0,750\\ \text{m}= (100\cdot1 - 100\cdot0,75)\\ \text{kN}\cdot\text{m}=25\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Converter para unidades SI (N·m):
M_{centro}=25\\ \text{kN}\cdot\text{m}=25\,000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Observação intuitiva: por simetria esse é o máximo momento do eixo (situação típica com duas cargas internas simétricas), portanto é sobre esse momento que vamos calcular a tensão máxima por flexão.

Passo 4

Relembrando a fórmula da tensão de flexão e o momento de inércia para seção circular.
  • Fórmula geral da tensão de flexão na fibra mais externa:
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde M é o momento fletor no ponto considerado, y é a distância da fibra exterior ao eixo neutro (para seção circular maciça y=d/2), e I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro.
  • Para uma seção circular maciça de diâmetro d,
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Substituindo y=d/2 e I na fórmula da tensão:
\sigma=\frac{M\,(d/2)}{\dfrac{\pi d^{4}}{64}} =\frac{M\,d}{2}\cdot\frac{64}{\pi d^{4}} =\frac{32\,M}{\pi d^{3}}.
Portanto é prática usar diretamente a fórmula útil para seção circular:
\boxed{\sigma_{\max}=\frac{32\,M}{\pi d^{3}}.}

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular.
Temos M=25\,000\\ \text{N}\cdot\text{m} e d=0,1375\\ \text{m}.
Calcular d^{3}:
d^{3}=(0,1375)^{3}=0,002599609375\\ \text{m}^{3}.
Aplicar a fórmula:
\sigma_{\max}=\frac{32\cdot25\,000}{\pi\cdot 0,002599609375}\\ \text{Pa}.
Calcule passo a passo:
32\cdot25\,000=800\,000,
\pi\cdot 0,002599609375\approx 0,008166911\\ (\text{aprox.}).
\sigma_{\max}\approx\frac{800\,000}{0,008166911}\\ \text{Pa}\approx 97\,960\,000\\ \text{Pa}.
Converter para megapascais:
\sigma_{\max}\approx97,96\\ \text{MPa}\approx98,0\\ \text{MPa} \\ (\text{arredondando}).
Interpretação rápida: esse valor é a tensão de flexão na fibra externa (valor absoluto máximo). Haverá uma fibra em tração e outra em compressão de magnitude igual (sinal depende da convenção).

Passo 6

Resumo físico e incentivo: a máxima tensão de flexão no centro do eixo (onde o diâmetro é 137,5\\ \text{mm}) é cerca de 98,0\\ \text{MPa}. Dá pra ver o raciocínio em três etapas: equilíbrio para reações, momento fletor no ponto de interesse, e uso de \sigma= M y / I com I da seção circular. Você está indo bem — repita esse procedimento em outras geometrias e fica rapidinho na prova!

Resposta

\sigma_{\max}\approx98{,}0\\ \text{MPa}

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