Exercício 12. Se a tensão de tração e de compressão admissível para a viga são
e
, respectivamente, determine o momento interno máximo admissível M que pode ser aplicado na seção transversal.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a imagem nos dão (peguei estes números da imagem). O enunciado pede: determinar o momento interno máximo admissível
que pode ser aplicado na seção transversal, sabendo que as tensões admissíveis são
e
.
Informações extraídas da imagem (uso destas dimensões abaixo na resolução):
- Espessura do “web” vertical (espessura dos painéis):
. - Sob o flange (parte horizontal) o web tem uma altura abaixo do flange de
. - Acima do flange o web tem uma altura de
. - Espessura (altura) do flange (parte horizontal):
. - O flange tem saliências laterais de
de cada lado do web; portanto a largura total do flange é .
Observação importante sobre a interpretação da figura: a seção compósita é tratada como um “T” formado pelo web vertical de espessura
e altura total
, e pelo flange horizontal de largura
e espessura
. Se esta interpretação estivesse incorreta, os cálculos a seguir mudariam.
Passo 2
Plano de ataque (breve e didático, o resto eu explico passo a passo):
- Para vigas submetidas a momento fletor puro a tensão flexional na fibra a uma distância
do eixo neutro é dada por . - Logo, dado um
, o momento máximo que não ultrapassa essa tensão na fibra é , onde é a distância da linha neutra até a fibra mais crítica (máxima distância da linha neutra). - Como a seção não é simétrica verticalmente, a linha neutra (centroide) não coincide necessariamente com o centro geométrico; portanto preciso:
- calcular as áreas das partes (web e flange),
- encontrar o centroide da seção composta (posição da linha neutra),
- calcular o momento de inércia total em torno dessa linha neutra (teorema dos eixos paralelos),
- calcular as distâncias até as fibras extremas (topo e fundo),
- aplicar
para cada fibra extrema usando seus respectivos e tomar o menor admissível (a fibra que atingir sua admissão primeiro determina ).
Vou desenvolver cada item com calma.
Passo 3
Calcular áreas e posições dos centróides parciais (sistema de referencia: eixo
vertical,
na base inferior da seção — ou seja, no fundo do web).
- Web (peça vertical):
- espessura
, - altura total
. - área
. - posição do centróide do web em relação à base:
- Flange (peça horizontal, tomada como retângulo de espessura vertical
e largura ):
- largura
, - espessura (altura)
, - área
. - localização vertical do flange: a base (fundo) do flange está a
acima da base da seção (veja marcação na figura), então o centróide do flange mede
Passo 4
Determinar o centróide (linha neutra) da seção composta:
- área total
- posição do centróide (distância da base):
Calculemos passo a passo:
-
. -
. - soma
. - dividindo por
:
Arredondando convenientemente:
acima da base.
Passo 5
Calcular as distâncias até as fibras extremas (do eixo neutro):
- altura total da seção (base até topo) é igual à altura do web
. - distância da linha neutra até a fibra superior (topo):
- distância da linha neutra até a fibra inferior (fundo):
Passo 6
Calcular o momento de inércia da seção composta em torno do eixo neutro (horizontal que passa pelo centróide):
Fórmula básica para retângulo com base
e altura
em torno de seu centróide horizontal:
Também usaremos o teorema dos eixos paralelos: , onde
é a distância entre os centróides.
Também usaremos o teorema dos eixos paralelos:
- Inércia do web em seu próprio centróide:
Calcule:
. Então
Distância entre centroides:
Contribuição do web pela regra dos eixos paralelos:
(usar mais casas decimais durante os cálculos intermediários; aqui apresento valores arredondados).
(usar mais casas decimais durante os cálculos intermediários; aqui apresento valores arredondados).
- Inércia do flange em seu centróide:
Calcule:
. Então
Distância entre centroides:
(módulo
).
Contribuição do flange pela regra dos eixos paralelos:
- Somando tudo:
Substituindo os números (mantendo precisão razoável):
(Arredondando:
.)
Passo 7
Aplicar a fórmula da tensão de flexão e determinar o momento admissível a partir de cada fibra extrema.
Fórmula da tensão fletora (linha reta de Navier):
Para não exceder a tensão admissível numa fibra a distância
do neutro, o momento deverá satisfazer:
Calcule
permitido pela fibra superior (associada a uma das admissões; vou testá-la com a admissão de tração e com a de compressão e depois escolher a correta):
- Se a fibra superior estiver sujeita à tração com
, então
Calcule numericamente:
- numerador
. - dividindo por
dá
Convertendo para unidades mais usuais:
Calcule
permitido pela fibra inferior usando a admissão de compressão:
- se a fibra inferior estiver sujeita à compressão com
, então
Calcule numericamente:
- numerador
. - dividindo por
dá
Passo 8
Interpretar os resultados:
- O momento máximo que não excede a tensão admissível na fibra superior (considerando
na fibra de tração) é aproximadamente - O momento máximo que não excede a tensão admissível na fibra inferior (considerando
na fibra de compressão) é aproximadamente
Como ambos os limites devem ser satisfeitos simultaneamente, o momento admissível global é o menor dos dois valores, ou seja aquele determinado pela fibra que atinge primeiro sua tensão admissível. Aqui a fibra de tração (com admissível menor) controla o projeto.
Portanto o momento máximo admissível é