Exercício 12. Se a tensão de tração e de compressão admissível para a viga são \sigma_{\text {adm }}=14 \mathrm{MPa} e \sigma_{\text {adm }}=21 \mathrm{MPa}, respectivamente, determine o momento interno máximo admissível M que pode ser aplicado na seção transversal.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a imagem nos dão (peguei estes números da imagem). O enunciado pede: determinar o momento interno máximo admissível M que pode ser aplicado na seção transversal, sabendo que as tensões admissíveis são \sigma_{\text{adm, tração}}=14\\ \text{MPa}çã e \sigma_{\text{adm, compressão}}=21\\ \text{MPa}ã.
Informações extraídas da imagem (uso destas dimensões abaixo na resolução):
  • Espessura do “web” vertical (espessura dos painéis): 25\\ \text{mm}.
  • Sob o flange (parte horizontal) o web tem uma altura abaixo do flange de 75\\ \text{mm}.
  • Acima do flange o web tem uma altura de 100\\ \text{mm}.
  • Espessura (altura) do flange (parte horizontal): 25\\ \text{mm}.
  • O flange tem saliências laterais de 75\\ \text{mm} de cada lado do web; portanto a largura total do flange é 75 + 25 + 75 = 175\\ \text{mm}.
Observação importante sobre a interpretação da figura: a seção compósita é tratada como um “T” formado pelo web vertical de espessura 25\\ \text{mm} e altura total 100+25+75=200\\ \text{mm}, e pelo flange horizontal de largura 175\\ \text{mm} e espessura 25\\ \text{mm}. Se esta interpretação estivesse incorreta, os cálculos a seguir mudariam.

Passo 2

Plano de ataque (breve e didático, o resto eu explico passo a passo):
  • Para vigas submetidas a momento fletor puro a tensão flexional na fibra a uma distância \,y\, do eixo neutro é dada por \displaystyle \sigma=\frac{M\,y}{I}.
  • Logo, dado um \sigma_{\text{adm}}, o momento máximo que não ultrapassa essa tensão na fibra é \displaystyle M_{\max}=\frac{\sigma_{\text{adm}}\,I}{y_{\max}}, onde y_{\max} é a distância da linha neutra até a fibra mais crítica (máxima distância da linha neutra).
  • Como a seção não é simétrica verticalmente, a linha neutra (centroide) não coincide necessariamente com o centro geométrico; portanto preciso:
    1. calcular as áreas das partes (web e flange),
    2. encontrar o centroide da seção composta (posição da linha neutra),
    3. calcular o momento de inércia total em torno dessa linha neutra (teorema dos eixos paralelos),
    4. calcular as distâncias até as fibras extremas (topo e fundo),
    5. aplicar \sigma=M y/I para cada fibra extrema usando seus respectivos \sigma_{\text{adm}} e tomar o menor M admissível (a fibra que atingir sua admissão primeiro determina M_{\max}).
Vou desenvolver cada item com calma.

Passo 3

Calcular áreas e posições dos centróides parciais (sistema de referencia: eixo y vertical, y=0 na base inferior da seção — ou seja, no fundo do web).
  1. Web (peça vertical):
  • espessura b_\text{web}=25\\ \text{mm},
  • altura total h_\text{web}=100+25+75=200\\ \text{mm}.
  • área \displaystyle A_\text{web}=b_\text{web}\,h_\text{web}=25\cdot200=5000\\ \text{mm}^2.
  • posição do centróide do web em relação à base: \displaystyle y_\text{web}=\frac{h_\text{web}}{2}=\frac{200}{2}=100\\ \text{mm}.
  1. Flange (peça horizontal, tomada como retângulo de espessura vertical 25\\ \text{mm} e largura 175\\ \text{mm}):
  • largura b_\text{fl}=175\\ \text{mm},
  • espessura (altura) h_\text{fl}=25\\ \text{mm},
  • área \displaystyle A_\text{fl}=b_\text{fl}\,h_\text{fl}=175\cdot25=4375\\ \text{mm}^2.
  • localização vertical do flange: a base (fundo) do flange está a 75\\ \text{mm} acima da base da seção (veja marcação na figura), então o centróide do flange mede
    \displaystyle y_\text{fl}=75+\frac{25}{2}=75+12{,}5=87{,}5\\ \text{mm}.

Passo 4

Determinar o centróide (linha neutra) da seção composta:
  • área total \displaystyle A_\text{tot}=A_\text{web}+A_\text{fl}=5000+4375=9375\\ \text{mm}^2.
  • posição do centróide (distância da base): \displaystyle y_{\text{bar}}=\frac{A_\text{web}\,y_\text{web}+A_\text{fl}\,y_\text{fl}}{A_\text{tot}} =\frac{5000\cdot100 + 4375\cdot87{,}5}{9375}.
Calculemos passo a passo:
  • 5000\cdot100=500000.
  • 4375\cdot87{,}5=4375\cdot87{,}5=382812{,}5.
  • soma =882812{,}5.
  • dividindo por 9375: \displaystyle y_{\text{bar}}=\frac{882812{,}5}{9375}\approx94{,}206666\\ \text{mm}.
Arredondando convenientemente: \displaystyle y_{\text{bar}}\approx94{,}21\\ \text{mm} acima da base.

Passo 5

Calcular as distâncias até as fibras extremas (do eixo neutro):
  • altura total da seção (base até topo) é igual à altura do web =200\\ \text{mm}.
  • distância da linha neutra até a fibra superior (topo): \displaystyle y_{\text{top}}=200 - y_{\text{bar}}\approx200-94{,}206666\approx105{,}793333\\ \text{mm}.
  • distância da linha neutra até a fibra inferior (fundo): \displaystyle y_{\text{bot}}=y_{\text{bar}}\approx94{,}206666\\ \text{mm}.

Passo 6

Calcular o momento de inércia da seção composta em torno do eixo neutro (horizontal que passa pelo centróide):
Fórmula básica para retângulo com base b e altura h em torno de seu centróide horizontal: \displaystyle I_\text{centro}=\frac{b\,h^3}{12}.
Também usaremos o teorema dos eixos paralelos: \displaystyle I=I_\text{centro}+A\,d^2, onde d é a distância entre os centróides.
  1. Inércia do web em seu próprio centróide:
\displaystyle I_{\text{web,c}}=\frac{b_\text{web}\,h_\text{web}^3}{12}=\frac{25\cdot200^3}{12}.
Calcule: 200^3=8\,000\,000. Então
\displaystyle I_{\text{web,c}}=\frac{25\cdot8\,000\,000}{12}=\frac{200\,000\,000}{12}=16\,666\,666{,}6667\\ \text{mm}^4.
Distância entre centroides: d_\text{web}=y_\text{web}-y_{\text{bar}}=100-94{,}206666=5{,}793334\\ \text{mm}.
Contribuição do web pela regra dos eixos paralelos:
\displaystyle A_\text{web}\,d_\text{web}^2=5000\cdot(5{,}793334)^2\approx5000\cdot33{,}5646\approx167\,823\\ \text{mm}^4
(usar mais casas decimais durante os cálculos intermediários; aqui apresento valores arredondados).
  1. Inércia do flange em seu centróide:
\displaystyle I_{\text{fl,c}}=\frac{b_\text{fl}\,h_\text{fl}^3}{12}=\frac{175\cdot25^3}{12}.
Calcule: 25^3=15\,625. Então
\displaystyle I_{\text{fl,c}}=\frac{175\cdot15\,625}{12}=\frac{2\,734\,375}{12}=227\,864{,}5833\\ \text{mm}^4.
Distância entre centroides: d_\text{fl}=y_\text{fl}-y_{\text{bar}}=87{,}5-94{,}206666=-6{,}706666\\ \text{mm} (módulo 6{,}706666\\ \text{mm}).
Contribuição do flange pela regra dos eixos paralelos:
\displaystyle A_\text{fl}\,d_\text{fl}^2=4375\cdot(6{,}706666)^2\approx4375\cdot44{,}9853\approx196\,916\\ \text{mm}^4.
  1. Somando tudo:
\displaystyle I_{\text{tot}}=I_{\text{web,c}}+A_\text{web}d_\text{web}^2 + I_{\text{fl,c}}+A_\text{fl}d_\text{fl}^2.
Substituindo os números (mantendo precisão razoável):
I_{\text{tot}}\approx16\,666\,666{,}667 + 167\,823 + 227\,864{,}583 + 196\,916 \approx 17\,259\,270\\ \text{mm}^4.
(Arredondando: \displaystyle I_{\text{tot}}\approx1{,}7259\times10^{7}\\ \text{mm}^4.)

Passo 7

Aplicar a fórmula da tensão de flexão e determinar o momento admissível a partir de cada fibra extrema.
Fórmula da tensão fletora (linha reta de Navier):
\displaystyle \sigma=\frac{M\,y}{I}.
Para não exceder a tensão admissível numa fibra a distância y do neutro, o momento deverá satisfazer:
\displaystyle M \le \frac{\sigma_{\text{adm}}\,I}{y}.
Calcule M permitido pela fibra superior (associada a uma das admissões; vou testá-la com a admissão de tração e com a de compressão e depois escolher a correta):
  • Se a fibra superior estiver sujeita à tração com \sigma_{\text{adm,trac}}=14\\ \text{MPa}=14\\ \text{N}/\text{mm}^2, então
\displaystyle M_{\text{por tração top}}=\frac{14\cdot I_{\text{tot}}}{y_{\text{top}}} =\frac{14\cdot17\,259\,270}{105{,}793333}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.çã
Calcule numericamente:
  • numerador =14\cdot17\,259\,270\approx241\,629\,780.
  • dividindo por 105{,}793333 M\approx2\,284\,580\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
    Convertendo para unidades mais usuais: \displaystyle M\approx2\,284{,}58\\ \text{N}\cdot\text{m}=2{,}28458\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Calcule M permitido pela fibra inferior usando a admissão de compressão:
  • se a fibra inferior estiver sujeita à compressão com \sigma_{\text{adm,comp}}=21\\ \text{MPa}=21\\ \text{N}/\text{mm}^2, então
\displaystyle M_{\text{por comp bot}}=\frac{21\cdot I_{\text{tot}}}{y_{\text{bot}}} =\frac{21\cdot17\,259\,270}{94{,}206666}\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Calcule numericamente:
  • numerador =21\cdot17\,259\,270\approx362\,444\,670.
  • dividindo por 94{,}206666 M\approx3\,847\,450\\ \text{N}\cdot\text{mm} \approx3{,}84745\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 8

Interpretar os resultados:
  • O momento máximo que não excede a tensão admissível na fibra superior (considerando \sigma_{\text{adm,trac}}=14\\ \text{MPa} na fibra de tração) é aproximadamente \displaystyle 2{,}285\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • O momento máximo que não excede a tensão admissível na fibra inferior (considerando \sigma_{\text{adm,comp}}=21\\ \text{MPa} na fibra de compressão) é aproximadamente \displaystyle 3{,}847\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Como ambos os limites devem ser satisfeitos simultaneamente, o momento admissível global é o menor dos dois valores, ou seja aquele determinado pela fibra que atinge primeiro sua tensão admissível. Aqui a fibra de tração (com admissível menor) controla o projeto.
Portanto o momento máximo admissível é
\boxed{M_{\max}\approx2{,}284{,}6\\ \times 10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx2{,}285\\ \text{kN}\cdot\text{m}.}

Resposta

M_{\max}=2{,}285\\ \text{kN}\cdot\text{m} (aprox.)

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