Exercício 11. Uma empresa está considerando a expansão de fábrica que tornará possível à empresa começar a produzir um novo tipo de computador. O presidente da empresa precisa determinar se faz a expansão em média ou em grande escala. Uma incerteza é a demanda para o novo produto, que para propósitos de planejamento pode ter uma baixa demanda, uma média demanda ou uma alta demanda. As estimativas para as demandas são de 0.20 ; 0.50 e 0.30 . respectivamente. Se x e y indicam os lucros anuais em \ 1.000$. os planejadores da empresa têm de desenvolver as seguintes previsões de lucro para os projetos de expansão de média e de grande escala.
Lucros da Expansão
de Média Escala
Lucros da Expansão
de Grande Escala
Demanda x P(x) x P(x)
Alta 50 0.20 0 0.20
Média 150 0.50 100 0.50
Baixa 200 0.30 300 0.30
(a) Calcule o valor esperado para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de maximizar o lucro esperado?
(b) Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de minimizar o risco ou a incerteza?

Passo 1

O enunciado descreve duas alternativas de expansão (média escala e grande escala) cujos lucros anuais (em milhares de dólares) dependem da demanda, que pode ser alta, média ou baixa com probabilidades 0,20, 0,50 e 0,30. Vamos aplicar os conceitos de valor esperado e variância de uma variável aleatória discreta para cada alternativa.

Passo 2

Calcular o valor esperado da expansão de média escala. Se X é o lucro (em milhares) nessa alternativa, então
E[X] =50\cdot0,20 +150\cdot0,50 +200\cdot0,30 =10 +75 +60 =145.

Passo 3

Calcular o valor esperado da expansão de grande escala. Se Y é o lucro nessa alternativa, então
E[Y] =0\cdot0,20 +100\cdot0,50 +300\cdot0,30 =0 +50 +90 =140.

Passo 4

Para maximizar o lucro esperado, comparamos E[X]=145 e E[Y]=140. Como 145>140, a expansão de média escala é preferida nesse critério.

Passo 5

Calcular a variância da expansão de média escala. Primeiro computamos
E[X^2] =50^2\cdot0,20 +150^2\cdot0,50 +200^2\cdot0,30 =23750.
Logo
\mathrm{Var}(X) =E[X^2] - (E[X])^2 =23750 -145^2 =23750 -21025 =2725.

Passo 6

Calcular a variância da expansão de grande escala. Primeiro
E[Y^2] =0^2\cdot0,20 +100^2\cdot0,50 +300^2\cdot0,30 =32000.
Logo
\mathrm{Var}(Y) =32000 -140^2 =32000 -19600 =12400.

Passo 7

Para minimizar a incerteza (variância), comparamos \mathrm{Var}(X)=2725 e \mathrm{Var}(Y)=12400. Como 2725<12400, a expansão de média escala também é preferida para minimizar o risco.

Resposta

(a) A expansão de média escala, pois E[X]=145>140=E[Y].
(b) A expansão de média escala, pois \mathrm{Var}(X)=2725<12400=\mathrm{Var}(Y).

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