Exercício 11. Explique a importância do Teorema do Valor Intermediário para a localização de raízes de equações.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que o Teorema do Valor Intermediário é fundamental quando queremos encontrar ou “localizar” raízes de uma equação f(x)=0. O conteúdo da matéria é análise de funções contínuas e aplicações em métodos numéricos de aproximação de raízes.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário afirma que, se uma função f é contínua no intervalo [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (isto é, f(a)\,f(b)<0), então existe pelo menos um ponto
c\in(a,b)
tal que
f\text{(c)}=0.

Passo 3

Esse resultado indica que sempre que encontrarmos um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) mudam de sinal, podemos ter certeza de que há uma raiz dentro desse intervalo. Em vez de “chutar” um valor inicial qualquer, o Teorema do Valor Intermediário nos dá garantia teórica de existência de solução em [a,b].

Passo 4

A lógica do Teorema do Valor Intermediário é usada diretamente em métodos numéricos, como o método da bissecção. Nesse método, dado [a,b] com f(a)f(b)<0, calcula-se o ponto médio
m = \frac{a+b}{2}
e verifica-se o sinal de f(m). Se f(a)f(m)<0, a raiz está em [a,m]; caso contrário, está em [m,b]. Repetindo esse processo, reduzimos sucessivamente o tamanho do intervalo que contém a raiz, garantindo aproximações cada vez melhores.

Resposta

O Teorema do Valor Intermediário é importante porque assegura a existência de pelo menos uma raiz de f(x)=0 em qualquer intervalo onde f seja contínua e mude de sinal, e fornece a base teórica para métodos de localização e aproximação de raízes, como o método da bissecção.

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