Calcule os seguintes limites utilizando o Limite Fundamental Trigonométrico:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (2 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^{2}}
usando limites fundamentais de funções trigonométricas. Vamos precisar da identidade envolvendo o cosseno duplo e do limite \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 2

Lembramos da identidade trigonométrica de ângulo duplo:
1 - \cos(2x) = 2\,\sin^{2}(x).
Também temos o limite fundamental
\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 3

Substituindo a identidade em \frac{1 - \cos(2x)}{x^{2}}, obtemos
\frac{1 - \cos(2x)}{x^{2}} = \frac{2\,\sin^{2}(x)}{x^{2}} = 2 \biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando x \to 0:
\lim_{x \to 0} 2 \biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)^{2} = 2 \cdot \bigl(\lim_{x \to 0} \tfrac{\sin x}{x}\bigr)^{2} = 2 \cdot 1^{2} = 2.

Resposta

2

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