Calcule os seguintes limites utilizando o Limite Fundamental Trigonométrico:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{2x}
usando o limite fundamental da função seno. O conteúdo principal aqui é lembrar que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Para usar esse resultado precisamos reescrever \frac{\operatorname{sen}(3x)}{2x} de modo que apareça uma fração do tipo \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}. Observe que, se definirmos u=3x, então quando x\to0 temos u\to0.

Passo 3

Reescrevendo a expressão em função de u:
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{2x} =\frac{\operatorname{sen}(u)}{2x} =\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{u}{2x} =\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{3x}{2x} =\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{3}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando x\to0 (logo u\to0):
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{2x} =\lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{3}{2} =1\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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