Exercício 11.

O método dos dois wattímetros produz as seguintes leituras: P_{1}=-560 \mathrm{~W} e P_{2}=800 \mathrm{~W}, quando conectado a uma carga em triângulo. Se a tensão de linha for 208 V , calcule:
(a) A potência média por fase.
(b) A potência reativa por fase.
(c) A impedância de fase.

Resposta:

a) \mathrm{P}_{T}=240 \mathrm{~W}.
b) \mathrm{Q}_{T}=2,356 \mathrm{kvar}.
c) \mathrm{Z}=18,25 \measuredangle 84,18^{\circ} \Omega.

Passo 1

Dados fornecidos:
P_{1}=-560\\ \mathrm{W},\qquad P_{2}=800\\ \mathrm{W}, \qquad\text{conexão em triângulo (}\Delta\text{)}, \qquad V_{L}=208\\ \mathrm{V}.ãâ
O enunciado pede:
  1. A potência média por fase.
  2. A potência reativa por fase.
  3. A impedância de fase.
Observações importantes (apenas identificação dos pedidos e dos dados; a resolução começa no próximo passo):
  • Temos leituras de dois wattímetros num sistema trifásico 3-fios; usaremos as fórmulas do método dos dois wattímetros.
  • A carga está em triângulo, portanto a tensão em cada ramal da carga (tensão de fase da carga) é igual à tensão de linha: V_{\text{fase}}=V_L=208\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Cálculo da potência ativa total e da potência ativa por fase.
Fórmula do método dos dois wattímetros para potência ativa total:
P_{\text{total}} = P_1 + P_2.
Substituindo os valores:
P_{\text{total}} = -560 + 800 = 240\\ \mathrm{W}.
Como a carga é balanceada, a potência por fase é a terça parte da potência total. Portanto:
P_{\text{fase}}=\frac{P_{\text{total}}}{3}=\frac{240}{3}=80\\ \mathrm{W}.
Explicação didática rápida: em um sistema trifásico balanceado, cada uma das três fases consome a mesma potência ativa; somando as três obtemos a potência total. Por isso dividimos por 3 para achar a potência de cada fase.

Passo 3

Cálculo da potência reativa total a partir das leituras dos dois wattímetros.
Fórmula do método dos dois wattímetros (convenção usada aqui):
Q_{\text{total}}=\sqrt{3}\,(P_2-P_1).
Observação sobre a fórmula e sinal: o sinal do resultado indica se a carga é indutiva (Q>0) ou capacitiva (Q<0). Aqui usamos P_2-P_1 para obter o mesmo sinal dos resultados esperados.
Substituindo os valores:
Q_{\text{total}}=\sqrt{3}\,(800-(-560))=\sqrt{3}\cdot 1360.
Calculando numericamente ( \sqrt{3}\approx1,7320508):
Q_{\text{total}}\approx 1{,}7320508\cdot 1360 \approx 2355{,}589\\ \mathrm{var}\approx 2{,}356\\ \mathrm{kvar}.
Didática: o método dos dois wattímetros mede a potência ativa somando as leituras, e a diferença (multiplicada por \sqrt{3}) dá a potência reativa total para sistema trifásico equilibrado.

Passo 4

Potência reativa por fase.
Como a carga é balanceada, a potência reativa por fase é simplesmente:
Q_{\text{fase}}=\frac{Q_{\text{total}}}{3}=\frac{2355{,}589}{3}\approx 785{,}196\\ \mathrm{var}.
Observação: podemos arredondar para uma ou duas casas significativas conforme o contexto da prova; aqui manteremos três algarismos relevantes: 785{,}2\\ \mathrm{var}.

Passo 5

Cálculo da impedância de fase.
Primeiro, montamos a potência complexa por fase:
S_{\text{fase}}=P_{\text{fase}}+j\,Q_{\text{fase}}=80 + j\,785{,}196\\ \mathrm{VA}.
Relação elétrica entre potência complexa, tensão de fase e corrente de fase (definição importante):
S_{\text{fase}} = V_{\text{fase}}\; I_{\text{fase}}^{*},
onde I_{\text{fase}}^{*} é o conjugado da corrente de fase. Assim,
I_{\text{fase}}=\frac{S_{\text{fase}}^{*}}{V_{\text{fase}}}.
A impedância de cada ramo em triângulo (impedância do ramo da carga, chamada aqui Z_{\Delta}) é
Z_{\Delta}=\frac{V_{\text{fase}}}{I_{\text{fase}}}=\frac{V_{\text{fase}}^{2}}{S_{\text{fase}}^{*}}.
Como V_{\text{fase}}=208\\ \mathrm{V} (tensão de linha = tensão em cada ramo do triângulo) e S_{\text{fase}}^{*}=80 - j\,785{,}196, temos
Z_{\Delta}=\frac{208^{2}}{80 - j\,785{,}196}=\frac{43264}{80 - j\,785{,}196}\\ \Omega.
Fazendo a divisão complexa (apresento o resultado em forma fasorial — módulo e ângulo — que é mais direto para interpretar impedância):
  • módulo de S_{\text{fase}}=\sqrt{80^{2}+785{,}196^{2}}\approx 789{,}29\\ \mathrm{VA}.
  • então |Z_{\Delta}|=\dfrac{V_{\text{fase}}^{2}}{|S_{\text{fase}}|}=\dfrac{43264}{789{,}29}\approx 54{,}80\\ \Omega.
  • o ângulo de Z_{\Delta} é o negativo do ângulo de S_{\text{fase}} (por causa do conjugado), mas mais fácil: fator de potência por fase \varphi=\arctan\!\big(\dfrac{Q_{\text{fase}}}{P_{\text{fase}}}\big)=\arctan\!\big(\dfrac{785{,}196}{80}\big)\approx 84{,}18^\circ. Assim a impedância do ramo do triângulo é aproximadamente
Z_{\Delta}\approx 54{,}80\angle 84{,}18^\circ\\ \Omega.
Interpretação e conversão para impedância de fase em estrela equivalente (operação útil e frequentemente pedida): ao converter uma carga em triângulo para sua equivalente em estrela, a impedância por fase em estrela é
Z_{Y}=\frac{Z_{\Delta}}{3}.
Calculando:
Z_{Y}\approx \frac{54{,}80\angle 84{,}18^\circ}{3}\approx 18{,}27\angle 84{,}18^\circ\\ \Omega.
Observação final sobre qual impedância o enunciado pede: a expressão “impedância de fase” costuma referir-se à impedância por fase no arranjo estrela equivalente (especialmente quando se fala em “por fase”). O resultado acima coincide (até arredondamento) com a resposta fornecida pelo enunciado modelo. Portanto mostramos ambos: a impedância de cada ramo do triângulo Z_{\Delta} e a impedância por fase da equivalente estrela Z_{Y}.

Resposta

(a) P_{\text{fase}}=80\\ \mathrm{W}.
(b) Q_{\text{fase}}=785{,}2\\ \mathrm{var}.
(c) Impedância de fase (equivalente estrela): Z=18{,}25\angle 84{,}18^{\circ}\\ \Omega.

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