Exercício 7.

Para um circuito com uma fonte de 220 V que alimenta uma carga trifásica ligada em \Delta com potência total de 3000 W e fator de potência 0,8 indutivo, determine:
(a) As potências reativa e aparente.
(b) A corrente.
(c) A impedância.

Resposta:

a) |S|=3750 VA, Q=2249 var.
b) \left|Z_{\text {carga }}\right|=38,72 \Omega.
b) |I|=9,85 \mathrm{~A}.

Passo 1

O enunciado dá um circuito trifásico alimentado por uma fonte de 220\\ \text{V} (tensão de linha) e uma carga em ligação em \Delta. A carga consome potência ativa total P=3000\\ \text{W} com fator de potência \mathrm{pf}=0,8 indutivo. Pedidos:
(a) determinar a potência reativa Q e a potência aparente |S|;
(b) determinar a corrente (magnitude da corrente de linha);
(c) determinar a impedância (da fase da carga em \Delta, magnitude e argumento). Dados relevantes listados:
\begin{aligned} &V_{L}=220\\ \text{V},\\\ &P=3000\\ \text{W},\\\ &\mathrm{pf}=\cos\varphi=0,8\\ (\text{indutivo}). \end{aligned}

Passo 2

Vamos achar a potência aparente total |S|. Definição: o fator de potência é \mathrm{pf}=\dfrac{P}{|S|}, logo
|S|=\frac{P}{\mathrm{pf}}.
Substituindo os números:
|S|=\frac{3000}{0,8}=3750\\ \text{VA}.
Explicação: |S| é a magnitude da potência complexa trifásica total; quando você conhece P e o fator de potência, divide P por \mathrm{pf} para obter |S|.

Passo 3

Agora a potência reativa Q. Duas formas equivalentes:
  • usar a relação trigonométrica entre P, Q e |S|: |S|^{2}=P^{2}+Q^{2}, ou
  • usar Q=P\tan\varphi onde \varphi=\cos^{-1}(\mathrm{pf}).
Primeiro vamos achar \varphi:
\varphi=\cos^{-1}(0,8)\approx 36,87^\circ.
Então \tan\varphi vale
\tan\varphi=\frac{\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{1-0,8^{2}}}{0,8}=\frac{0,6}{0,8}=0,75.
Logo
Q=P\tan\varphi=3000\cdot 0,75=2250\\ \text{var}.
Observação prática: como o problema diz “indutivo”, Q é positivo no sentido reativo indutivo (ou seja, a potência reativa consumida).

Passo 4

Precisamos da corrente de linha I_{L}. Para sistemas trifásicos equilibrados a relação entre potência aparente total, tensão de linha e corrente de linha é
|S|=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.
Isolando I_{L}:
I_{L}=\frac{|S|}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
Explicação: essa fórmula vem da soma das três potências de fase; em \Delta a tensão de fase é igual à tensão de linha, e a potência total é \sqrt{3} V_{L} I_{L} (quando usamos magnitudes).

Passo 5

Aplicando numérico:
I_{L}=\frac{3750}{\sqrt{3}\cdot 220}.
Calculemos passo a passo: \sqrt{3}\approx 1,732 e \sqrt{3}\cdot 220\approx 381,05. Assim
I_{L}\approx\frac{3750}{381,05}\approx 9,85\\ \mathrm{A}.
Dica prática para prova: você pode computar \dfrac{3750}{220}\approx 17,045 e depois dividir por \sqrt{3} para acelerar os cálculos à mão.

Passo 6

Como a carga está ligada em \Delta, cada impedância de fase Z_{\text{fase}} tem a tensão de fase igual à tensão de linha:
V_{\text{fase}}=V_{L}=220\\ \text{V}.
A potência aparente por fase é
|S_{\text{fase}}|=\frac{|S|}{3}=\frac{3750}{3}=1250\\ \text{VA}.
A corrente de fase (corrente no ramo da \Delta) é então
I_{\text{fase}}=\frac{|S_{\text{fase}}|}{V_{\text{fase}}}=\frac{1250}{220}\approx 5,6818\\ \mathrm{A}.
Verificação: em \Delta a corrente de linha e a corrente de fase estão relacionadas por I_{L}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}, e \sqrt{3}\cdot 5,6818\approx 9,85\\ \mathrm{A}, consistente com o passo anterior.

Passo 7

Agora a impedância de cada fase (magnitude) vem da Lei de Ohm em magnitude:
|Z_{\text{fase}}|=\frac{V_{\text{fase}}}{I_{\text{fase}}}=\frac{220}{5,6818}\approx 38,72\\ \Omega.
Explicação: isso dá a magnitude da impedância por fase. Como sabemos o ângulo \varphi (entre tensão e corrente) e o problema diz que é indutivo, a impedância é indutiva (reatância positiva). Portanto o argumento de Z é \varphi\approx 36,87^\circ.

Passo 8

Podemos, se quisermos, escrever a impedância de fase em forma fasorial (módulo e argumento):
Z_{\text{fase}}=|Z_{\text{fase}}|\angle\varphi\approx 38,72\\ \Omega\angle 36,87^\circ.
Interpretação: isso significa que Z_{\text{fase}}=38,72\cos(36,87^\circ)+j\,38,72\sin(36,87^\circ), com parte imaginária positiva por ser indutivo.

Resposta

(a) |S|=3750\\ \text{VA},\\ Q=2250\\ \text{var}
(b) |I|=9,85\\ \mathrm{A}
(c) |Z_{\text{carga}}|=38,72\\ \Omega,\\ Z_{\text{carga}}=38,72\angle36,87^\circ\\ \Omega

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