Exercício 11. Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x, y \in[0, \pi / 2], calcule:
(b) \cos (x-y)

Passo 1

O enunciado dá \sin x=\tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\tfrac{5}{4} com x,y\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e pede \cos(x-y).
Vamos usar o teorema de Pitágoras para achar \cos x e \sin y e depois aplicar a fórmula do cosseno da diferença:
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.

Passo 2

Como x está no primeiro quadrante,
\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

Da definição de secante temos
\cos y = \frac{1}{\operatorname{sec} y} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}.
Como y também está no primeiro quadrante,
\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 4

Aplicando a fórmula
\cos(x-y)=\cos x\cos y + \sin x\sin y
substituindo os valores:
\cos x\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{4}{5} = \frac{8\sqrt{2}}{15}, \quad \sin x\sin y = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}.
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\cos(x-y) = \frac{8\sqrt{2}}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8\sqrt{2}+3}{15}.

Resposta

\cos(x-y)=\frac{8\sqrt{2}+3}{15}.

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