Exercício 11. Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x, y \in[0, \pi / 2], calcule:
(c) \operatorname{sen} 2 y

Passo 1

O enunciado nos dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{4} com x,y\in[0,\pi/2], e pede \sin 2y. Vamos usar a definição de secante, o teorema de Pitágoras no triângulo trigonométrico e a identidade de ângulo duplo
\sin2y = 2\,\sin y\,\cos y.

Passo 2

Como \operatorname{sec} y = \tfrac{1}{\cos y} = \tfrac{5}{4} e \cos y>0 no primeiro quadrante, temos
\cos y = \tfrac{4}{5}.

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras,
\sin^2y + \cos^2y = 1
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\sin^2y = 1 - \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^2 = 1 - \tfrac{16}{25} = \tfrac{9}{25},
e como \sin y>0,
\sin y = \tfrac{3}{5}.

Passo 4

Aplicando a identidade de ângulo duplo,
\sin2y = 2\,\sin y\,\cos y = 2 \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{24}{25}.

Resposta

\sin 2y = \tfrac{24}{25}.

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