Exercício 11. Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \operatorname{sec} y=\frac{5}{4}, onde x, y \in[0, \pi / 2], calcule:
(d) \cos (x+y)

Passo 1

O enunciado dá que \sin x = \tfrac{1}{3} e \operatorname{sec} y = \tfrac{5}{4} com x,y\in[0,\tfrac{\pi}{2}], ou seja, ambos os ângulos estão no primeiro quadrante. Queremos calcular \cos(x+y). Para isso, vamos precisar:
  1. Determinar \cos x a partir de \sin x.
  2. Determinar \cos y (já que \operatorname{sec} y é o recíproco de \cos y) e também \sin y.
  3. Aplicar a identidade de soma de cossenos:
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.

Passo 2

Calculando \cos x e \sin y:
Como \sin x=\tfrac{1}{3} e x está no primeiro quadrante, usamos o teorema de Pitágoras:
\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Como \operatorname{sec} y=\tfrac{5}{4}, temos
\cos y = \frac{1}{\operatorname{sec} y} = \frac{4}{5}.
E, de novo pelo teorema de Pitágoras em y (no primeiro quadrante),
\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade de soma de ângulos:
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.
Substituindo os valores encontrados:
\cos(x+y) = \Bigl(\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr)\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr) = \tfrac{8\sqrt{2}}{15} - \tfrac{1}{5}.
Para colocar no mesmo denominador:
\tfrac{8\sqrt{2}}{15} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{8\sqrt{2}}{15} - \tfrac{3}{15} = \frac{8\sqrt{2} - 3}{15}.

Resposta

\cos(x+y) = \frac{8\sqrt{2} - 3}{15}.

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