• Exercício 4.9. Em uma região fria, uma casa possui janelas “termoisolantes”. As janelas, de 10 \mathrm{ft} \times 4 \mathrm{ft}, consistem de duas lâminas de vidro ( \mathrm{k}=0,5 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} .^{\circ} \mathrm{F} ), cada uma com 1 / 4^{\prime \prime} de espessura, separadas por uma camada de ar estagnado ( \mathrm{k}=0,015 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} .^{\circ} \mathrm{F} ), também de 1 / 4^{\prime \prime} de espessura. No interior da casa a temperatura do ar é 84,4 oF e o coeficiente de película é 1,0 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} 2 .{ }^{\circ} \mathrm{F}, enquanto que externamente a temperatura do ar é 20,5^{\circ} \mathrm{F} e o coeficiente de película é 1,4 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} 2 .{ }^{\circ} \mathrm{F}. O sistema de aquecimento da casa tem um rendimento de 50% e utiliza carvão com poder calorífico de 13200 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb}. Determine:
    a) as perdas de calor, por hora, através de cada janela “termoisolante”;
    b) o consumo mensal de carvão devido as perdas por cada janela “termoisolante”;
    c) o consumo mensal de carvão devido à substituição da janela “termoisolante” por uma janela comum, de vidro, com 3 / 8 " de espessura e mesma condutividade térmica.

Passo 1

O enunciado fornece (peguei todos estes números do enunciado / figura):
  • Dimensões da janela: 10\,\text{ft}\times4\,\text{ft}.
  • Vidro: condutividade térmica \,k_v=0{,}5\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}).
  • Duas lâminas de vidro, cada uma com espessura \tfrac{1}{4}\,\text{in}.
  • Camada de ar estagnado entre as lâminas: k_{ar}=0{,}015\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}) e espessura \tfrac{1}{4}\,\text{in}.
  • Temperaturas do ar: interior T_{int}=84{,}4\,^\circ\mathrm{F} e exterior T_{ext}=20{,}5\,^\circ\mathrm{F}.
  • Coeficientes de película: interior h_{int}=1{,}0\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}}) e exterior h_{ext}=1{,}4\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}}).
  • Rendimento do sistema de aquecimento: \eta=0{,}50.
  • Poder calorífico do carvão: 13200\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.
    O enunciado pede:
    (a) as perdas de calor por hora através de cada janela termoisolante;
    (b) o consumo mensal de carvão devido às perdas por cada janela termoisolante;
    (c) o consumo mensal de carvão devido à substituição da janela termoisolante por uma janela comum de vidro com 3/8" de espessura (mesma condutividade).

Passo 2

Plano de resolução e fórmulas úteis (mini-aula rápida, sem pular passos):
  • Modelo: resistência térmica em série (convecção interna → vidro 1 → ar estagnado → vidro 2 → convecção externa). Para regime permanente, a taxa de calor é dada por
\dot{Q}=\frac{T_{int}-T_{ext}}{R_{tot}}.
  • Resistência de convecção numa face:
R_{conv}=\frac{1}{hA},
onde h é o coeficiente de convecção (unidade \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}})) e A é a área (em \mathrm{ft}^2).
  • Resistência por condução através de uma placa plana de espessura L e condutividade k:
R_{cond}=\frac{L}{kA},
onde L em \mathrm{ft}, k em \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}).
  • A área da janela:
A=10\,\text{ft}\times4\,\text{ft}=40\,\text{ft}^2.
  • Converter espessuras de polegadas para pés: 1\,\text{in}=1/12\,\text{ft}.
    • \tfrac{1}{4}\,\text{in}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{12}\,\text{ft}=\dfrac{1}{48}\,\text{ft}=0{,}020833\ldots\,\text{ft}.
    • \tfrac{3}{8}\,\text{in}=\dfrac{3}{8}\times\dfrac{1}{12}\,\text{ft}=\dfrac{3}{96}\,\text{ft}=0{,}03125\,\text{ft}.

Passo 3

Cálculo das resistências da janela termoisolante (duas lâminas de vidro + ar):
  • Resistência convectiva interna:
R_{ci}=\frac{1}{h_{int}A}=\frac{1}{1{,}0\cdot40}=\frac{1}{40}=0{,}025\\ \left(\frac{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{^\circ\mathrm{F}}}{\mathrm{Btu}}\right).
  • Resistência convectiva externa:
R_{ce}=\frac{1}{h_{ext}A}=\frac{1}{1{,}4\cdot40}=\frac{1}{56}=0{,}017857\ldots
  • Resistência de cada lâmina de vidro ( L_{v}=\tfrac{1}{4}\,\text{in}=0{,}020833\,\text{ft}, k_v=0{,}5):
R_{v}=\frac{L_v}{k_v A}=\frac{0{,}020833}{0{,}5\cdot40}=\frac{0{,}020833}{20}=0{,}0010416667.
Temos duas lâminas, então 2R_v=0{,}00208333.
  • Resistência da camada de ar ( L_{ar}=0{,}020833\,\text{ft}, k_{ar}=0{,}015):
R_{ar}=\frac{L_{ar}}{k_{ar}A}=\frac{0{,}020833}{0{,}015\cdot40}=\frac{0{,}020833}{0{,}6}=0{,}0347222\ldots
  • Soma das resistências (série):
R_{tot}=R_{ci}+2R_v+R_{ar}+R_{ce}.
Substituindo números:
R_{tot}=0{,}025+0{,}00208333+0{,}03472222+0{,}01785714\approx0{,}0796627.

Passo 4

Cálculo da perda de calor por hora através da janela termoisolante:
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{int}-T_{ext}=84{,}4-20{,}5=63{,}9\\ ^\circ\mathrm{F}.
  • Taxa de calor:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{tot}}=\frac{63{,}9}{0{,}0796627}\approx802{,}0\\ \mathrm{Btu/h}.
(Arredondei para três algarismos significativos: \dot{Q}\approx802{,}0\\ \mathrm{Btu/h}.)

Passo 5

Consumo mensal de carvão devido às perdas (janela termoisolante):
  • Energia necessária do combustível por hora (considerando rendimento \eta):
\dot{Q}_{fuel}=\frac{\dot{Q}}{\eta}=\frac{802{,}0}{0{,}50}=1604{,}0\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Horas em um mês (usar 30 dias): t_{m}=30\cdot24=720\\ \mathrm{h}.
  • Energia do combustível por mês:
Q_{fuel,\,m}=\dot{Q}_{fuel}\cdot t_{m}=1604{,}0\cdot720=1\,154\,880\\ \mathrm{Btu/month}.
  • Massa de carvão por mês:
m_{coal}=\frac{Q_{fuel,\,m}}{\text{PCI}}=\frac{1\,154\,880}{13\,200}\approx87{,}5\\ \mathrm{lb/month}.

Passo 6

Substituição por janela comum (uma lâmina de vidro de 3/8" = 0{,}03125\,\text{ft}):
  • Nova resistência do vidro único:
R_{v,\,novo}=\frac{L_{novo}}{k_v A}=\frac{0{,}03125}{0{,}5\cdot40}=\frac{0{,}03125}{20}=0{,}0015625.
  • Não há camada de ar nem a segunda lâmina, então
R_{tot,\,novo}=R_{ci}+R_{v,\,novo}+R_{ce}=0{,}025+0{,}0015625+0{,}01785714\approx0{,}0444196.
  • Taxa de calor pela janela comum:
\dot{Q}_{novo}=\frac{\Delta T}{R_{tot,\,novo}}=\frac{63{,}9}{0{,}0444196}\approx1\,438{,}0\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Energia combustível por hora com rendimento:
\dot{Q}_{fuel,\,novo}=\frac{\dot{Q}_{novo}}{\eta}=\frac{1\,438{,}0}{0{,}50}=2\,876{,}0\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Por mês (720 h):
Q_{fuel,\,novo,\,m}=2\,876{,}0\cdot720=2\,071\,680\\ \mathrm{Btu/month}.
  • Massa de carvão por mês com janela comum:
m_{coal,\,novo}=\frac{2\,071\,680}{13\,200}\approx157{,}0\\ \mathrm{lb/month}.
  • Aumento de consumo mensal devido à substituição:
\Delta m = m_{coal,\,novo}-m_{coal} \approx157{,}0-87{,}5=69{,}5\\ \mathrm{lb/month}.
(Arredondei resultados finais: m_{coal,\,novo}\approx157{,}0\\ \mathrm{lb/month} e aumento \Delta m\approx69{,}5\\ \mathrm{lb/month}.)

Resposta

a) \dot{Q}\approx802{,}0\\ \mathrm{Btu/h}
b) m_{coal}\approx87{,}5\\ \mathrm{lb/month}
c) aumento do consumo mensal devido à substituição \Delta m\approx69{,}5\\ \mathrm{lb/month}

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