Determine se os vetores abaixo são linearmente independentes:
(1,0),(0,1)
Verifique a independência linear de:
(1,2),(2,4)
Verifique se:
(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)
são LI ou LD.
Determine os valores de k para os quais:
(1,2, k),(2,4,6),(1,1,0)
são linearmente dependentes.
Mostre que os vetores:
(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais vetores são dados (cada item é uma pergunta distinta).
Item (1): Determinar se os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes.
Item (2): Verificar a independência linear dos vetores (1,2) e (2,4).
Item (3): Verificar se os vetores (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,2) são linearmente independentes ou dependentes.
Item (4): Determinar os valores de k para os quais os vetores (1,2,k), (2,4,6) e (1,1,0) são linearmente dependentes.
Item (5): Mostrar (isto é, provar) alguma propriedade solicitada dos vetores (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1). (Como o enunciado está incompleto, vou assumir a tarefa típica: provar que esses três vetores são linearmente independentes.)
Os vetores dados estão todos em \mathbb{R}^2 (itens 1 e 2) ou \mathbb{R}^3 (itens 3–5). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito e método geral (mini-aula rápida, passo a passo e sem jargões complicados).
Definição intuitiva: um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando a única maneira de escrever a combinação linear deles igual a zero é usando todos os coeficientes iguais a zero. Se existir uma combinação com coeficientes nem todos zero que dá o vetor zero, então são linearmente dependentes (LD).
Formalmente: vetores v_1,\dots,v_n são LI se, da igualdade
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0,
seguir que a_1=a_2=\cdots=a_n=0. Caso contrário são LD.
Métodos práticos:
Para dois vetores em \mathbb{R}^2: verificar proporcionalidade. Se um é múltiplo escalar do outro, então LD; se não, então LI. Alternativa: resolver o sistema a v_1 + b v_2 = 0.
Para três vetores em \mathbb{R}^3: montar a matriz 3×3 cujas colunas (ou linhas) são os vetores. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são LI; se o determinante for zero, então são LD. Outra maneira é tentar expressar um vetor como combinação dos outros (se conseguir -> LD).
Vou aplicar esses métodos item a item, mostrando todos os passos algébricos.
Os coeficientes (1,1,-1) não são todos zero, portanto os vetores são linearmente dependentes.
Passo 6
Item (4): determinar k tal que (1,2,k), (2,4,6), (1,1,0) sejam LD.
Método usado: para três vetores em \mathbb{R}^3, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e exigimos que o determinante seja zero (determinante zero ⇔ vetores LD).
Matriz com as colunas sendo os vetores é
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] k & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante \det(M). Expansão pela primeira linha: