3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Parte I

  1. Determine se os vetores abaixo são linearmente independentes:
(1,0),(0,1)
  1. Verifique a independência linear de:
(1,2),(2,4)
  1. Verifique se:
(1,0,1),(0,1,1),(1,1,2)
são LI ou LD.
  1. Determine os valores de k para os quais:
(1,2, k),(2,4,6),(1,1,0)
são linearmente dependentes.
  1. Mostre que os vetores:
(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais vetores são dados (cada item é uma pergunta distinta).
  • Item (1): Determinar se os vetores (1,0) e (0,1) são linearmente independentes.
  • Item (2): Verificar a independência linear dos vetores (1,2) e (2,4).
  • Item (3): Verificar se os vetores (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,2) são linearmente independentes ou dependentes.
  • Item (4): Determinar os valores de k para os quais os vetores (1,2,k), (2,4,6) e (1,1,0) são linearmente dependentes.
  • Item (5): Mostrar (isto é, provar) alguma propriedade solicitada dos vetores (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1). (Como o enunciado está incompleto, vou assumir a tarefa típica: provar que esses três vetores são linearmente independentes.)
Os vetores dados estão todos em \mathbb{R}^2 (itens 1 e 2) ou \mathbb{R}^3 (itens 3–5). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito e método geral (mini-aula rápida, passo a passo e sem jargões complicados).
  • Definição intuitiva: um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando a única maneira de escrever a combinação linear deles igual a zero é usando todos os coeficientes iguais a zero. Se existir uma combinação com coeficientes nem todos zero que dá o vetor zero, então são linearmente dependentes (LD).
  • Formalmente: vetores v_1,\dots,v_n são LI se, da igualdade
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0,
seguir que a_1=a_2=\cdots=a_n=0. Caso contrário são LD.
  • Métodos práticos:
    • Para dois vetores em \mathbb{R}^2: verificar proporcionalidade. Se um é múltiplo escalar do outro, então LD; se não, então LI. Alternativa: resolver o sistema a v_1 + b v_2 = 0.
    • Para três vetores em \mathbb{R}^3: montar a matriz 3×3 cujas colunas (ou linhas) são os vetores. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então os vetores são LI; se o determinante for zero, então são LD. Outra maneira é tentar expressar um vetor como combinação dos outros (se conseguir -> LD).
Vou aplicar esses métodos item a item, mostrando todos os passos algébricos.

Passo 3

Item (1): verificar se [(1,0)) e (0,1) são LI.
Montamos a combinação linear genérica:
a(1,0)+b(0,1)=(0,0).
Isso significa, componente a componente,
\begin{cases} a\cdot 1 + b\cdot 0 = 0,\\[4pt] a\cdot 0 + b\cdot 1 = 0. \end{cases}
Ou seja,
\begin{cases} a=0,\\[4pt] b=0. \end{cases}
Como a única solução é a=0\] e \(b=0, concluímos que os vetores são linearmente independentes.]

Passo 4

Item (2): verificar (1,2) e (2,4).
Observação rápida: se um vetor é múltiplo do outro, então são LD. Note que
(2,4)=2\cdot(1,2).
Isto mostra explicitamente que existe uma combinação linear não trivial que dá zero: por exemplo
1\cdot(2,4) -2\cdot(1,2) = (2,4) - (2,4) = (0,0).
Aqui os coeficientes (a,b)=( -2,1) não são ambos zero, logo os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Item (3): verificar (1,0,1), (0,1,1), (1,1,2).
Tento ver se um dos vetores é combinação dos outros. Calcule a soma dos dois primeiros:
(1,0,1) + (0,1,1) = (1+0,\;0+1,\;1+1) = (1,1,2).
Como (1,1,2) é exatamente a soma dos outros dois, existe uma relação linear não trivial:
1\cdot(1,0,1) + 1\cdot(0,1,1) -1\cdot(1,1,2) = (0,0,0).
Os coeficientes (1,1,-1) não são todos zero, portanto os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Item (4): determinar k tal que (1,2,k), (2,4,6), (1,1,0) sejam LD.
Método usado: para três vetores em \mathbb{R}^3, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e exigimos que o determinante seja zero (determinante zero ⇔ vetores LD).
Matriz com as colunas sendo os vetores é
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 4 & 1\\[4pt] k & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante \det(M). Expansão pela primeira linha:
\det(M) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]6 & 0\end{pmatrix} - 2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]k & 0\end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]k & 6\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]6 & 0\end{pmatrix} = 4\cdot 0 - 1\cdot 6 = -6,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]k & 0\end{pmatrix} = 2\cdot 0 - 1\cdot k = -k,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]k & 6\end{pmatrix} = 2\cdot 6 - 4\cdot k = 12 - 4k.
Substituindo:
\det(M) = 1\cdot(-6) - 2\cdot(-k) + 1\cdot(12-4k) = -6 + 2k + 12 - 4k.
Simplificando:
\det(M) = 6 - 2k.
Exigimos \det(M)=0 para dependência linear, então
6 - 2k = 0 \quad\Rightarrow\quad k = 3.
Portanto os vetores são linearmente dependentes exatamente quando k=3.]

Passo 7

Item (5): mostrar que (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) são linearmente independentes (prova).
Usarei o critério do determinante novamente: monte a matriz com essas colunas,
N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde as colunas são v_1=(1,1,0), v_2=(1,0,1), v_3=(0,1,1).
Calcule \det(N). Expandindo pela primeira linha:
\det(N) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Os menores são
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot 1 - 1\cdot 0 = 1.
Logo
\det(N) = 1\cdot(-1) - 1\cdot(1) + 0 = -1 - 1 = -2.
Como \det(N) = -2 \neq 0, as colunas (os vetores dados) são linearmente independentes. Portanto os três vetores são LI.]

Resposta

(1) Linearmente independentes.
(2) Linearmente dependentes.
(3) Linearmente dependentes.
(4) \;k=3.
(5) Linearmente independentes.

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