Exercício 2.13 Calcule os seguintes limites:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x\left(x^{2}-x y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};

Passo 1

O enunciado pede o limite seguinte quando (x,y) tende para (0,0):
\lim_{\substack{x\rightarrow 0\y\rightarrow 0}} \frac{x\left(x^{2}-x y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve \sqrt{x} e \sqrt{y}, logo estamos considerando as raízes reais; portanto assumimos x\ge 0 e y\ge 0 ao nos aproximarmos de 0.
  • O numerador é x\left(x^{2}-x y\right), que pode ser reescrito; o denominador é \sqrt{x}-\sqrt{y}.
  • A pergunta é: qual é o valor do limite quando ambos x e y vão para 0 (pela direita, já que usamos raízes reais)?

Passo 2

Primeiro, vou manipular algebricamente a expressão para simplificá-la — isso costuma ser a parte mais importante em provas.
Escrevo o numerador fatorado:
x\left(x^{2}-x y\right)=x\cdot x^{2}-x\cdot x y = x^{2}(x-y).
Agora uso a identidade algébrica (diferença de quadrados) aplicada às raízes:
x-y = (\sqrt{x})^{2} - (\sqrt{y})^{2} = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Substituindo isso no numerador:
x^{2}(x-y)=x^{2}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Logo a fração original pode ser escrita (para pontos onde \sqrt{x}\neq\sqrt{y}) como
\frac{x^{2}(x-y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{x^{2}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = x^{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Observação sobre a cancelamento: a simplificação foi feita cancelando o fator \sqrt{x}-\sqrt{y}. Mesmo que em pontos com \sqrt{x}=\sqrt{y} a expressão original seja indeterminada, a função simplificada x^{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) coincide com a extensão contínua da expressão original onde ela estiver definida. Para avaliar o limite, é legítimo trabalhar com essa forma simplificada.

Passo 3

Agora que temos a forma simples
\frac{x\left(x^{2}-x y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = x^{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}),
vou analisar o comportamento quando (x,y)\to(0,0).
As funções x\mapsto x^{2} e x\mapsto \sqrt{x} são contínuas em [0,\infty). Portanto a função F(x,y)=x^{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) é contínua no ponto (0,0). Pelo teorema do limite para funções contínuas, o limite de F(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é simplesmente F(0,0).
Calculo F(0,0):
F(0,0)=0^{2}\big(\sqrt{0}+\sqrt{0}\big)=0\cdot(0+0)=0.
Como alternativa intuitiva: os termos em F são do tipo x^{2}\sqrt{x}=x^{5/2} e x^{2}\sqrt{y}; ambos tendem a 0 quando x\to0 e y\to0, então a soma também tende a 0.

Passo 4

Resumindo o raciocínio: fatoramos e simplificamos a expressão para x^{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}), reconhecemos que essa função é contínua em (0,0) e avaliamos o valor em (0,0). Assim o limite existe e é igual ao valor obtido pela avaliação direta da função contínua no ponto.

Resposta

0

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