Exercício 2.13 Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o limite seguinte quando
tende para
:
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
e , logo estamos considerando as raízes reais; portanto assumimos e ao nos aproximarmos de . - O numerador é
, que pode ser reescrito; o denominador é . - A pergunta é: qual é o valor do limite quando ambos
e vão para (pela direita, já que usamos raízes reais)?
Passo 2
Primeiro, vou manipular algebricamente a expressão para simplificá-la — isso costuma ser a parte mais importante em provas.
Escrevo o numerador fatorado:
Agora uso a identidade algébrica (diferença de quadrados) aplicada às raízes:
Substituindo isso no numerador:
Logo a fração original pode ser escrita (para pontos onde
) como
Observação sobre a cancelamento: a simplificação foi feita cancelando o fator
. Mesmo que em pontos com
a expressão original seja indeterminada, a função simplificada
coincide com a extensão contínua da expressão original onde ela estiver definida. Para avaliar o limite, é legítimo trabalhar com essa forma simplificada.
Passo 3
Agora que temos a forma simples
vou analisar o comportamento quando
.
As funções
e
são contínuas em
. Portanto a função
é contínua no ponto
. Pelo teorema do limite para funções contínuas, o limite de
quando
é simplesmente
.
Calculo
:
Como alternativa intuitiva: os termos em
são do tipo
e
; ambos tendem a
quando
e
, então a soma também tende a
.
Passo 4
Resumindo o raciocínio: fatoramos e simplificamos a expressão para
, reconhecemos que essa função é contínua em
e avaliamos o valor em
. Assim o limite existe e é igual ao valor obtido pela avaliação direta da função contínua no ponto.