Exercício 12. Leia com atenção o seguinte teorema e uma suposta demonstração.
Teorema 1. Para todos
números naturais, se
divide
e
divide
e
divide
e
divide
e
não divide
, então
divide
e
divide
.
Em símbolos
e
e
e
e
e
.
Demonstração. Sejam
números naturais tais que
divide
divide
divide
divide
e
não divide
. Se
divide
e
, então existem
e
naturais tais que
e
.
Se
divide
então
divide
.
Se
divide
e não divide
, então
divide
.
Analogamente, se
divide
então
divide
.
Se
divide
e não divide
, então
divide
.
Se
divide
e
, então existem
e
tais que
e
.
Das conclusões acima temos
e
, portanto,
divide
e
divide
.
isso ajudou a fixar as informações?
(a) Dê um contraexemplo para a afirmação feita no teorema.
(b) Indique o(s) erro(s) na demonstração.
Em símbolos
Demonstração. Sejam
Se
Se
Analogamente, se
Se
Se
Das conclusões acima temos
(a) Dê um contraexemplo para a afirmação feita no teorema.
(b) Indique o(s) erro(s) na demonstração.
Passo 1
O enunciado afirma que, para
, se
então
e
.
O conteúdo envolve propriedades de divisibilidade e, em particular, um passo de “cancelamento”: de e
pretende-se concluir
.
O conteúdo envolve propriedades de divisibilidade e, em particular, um passo de “cancelamento”: de
Passo 2
Para refutar a afirmação, basta achar
que satisfaçam as hipóteses mas violem a conclusão.
Escolha
Escolha
De fato,
porém
Logo a conclusão “
e
” falha.
Passo 3
No passo crítico da demonstração suposta usa-se:
“Se e
, então
.”
Isso só é válido quando . O autor confunde “
não divide
” com “
e
são primos entre si”. Sem garantir
, não se pode cancelar
num divisível por
.
“Se
Isso só é válido quando
Resposta
(a) Um contraexemplo é
,
,
,
.
(b) O erro está em aplicar o cancelamento de divisibilidade sem que ; supor apenas
não basta para concluir
de
.
(b) O erro está em aplicar o cancelamento de divisibilidade sem que