Exercício 12. Leia com atenção o seguinte teorema e uma suposta demonstração.

Teorema 1. Para todos a, b, c, d números naturais, se c divide a e c divide b e d divide a e d divide b e c não divide d, então d c divide a e d c divide b.
Em símbolos { }^{a}: \forall a, b, c, d \in \mathbb{N},(c \mid a e c \mid b e d \mid a e d \mid b e c \nmid d \rightarrow d c \mid a e d c \mid b).
Demonstração. Sejam a, b, c, d números naturais tais que c divide a, c divide b, d divide a, d divide b e c não divide d. Se d divide a e b, então existem x e y naturais tais que a=x d e b=y d.
Se c divide a então c divide x d.
Se c divide x d e não divide d, então c divide x.
Analogamente, se c divide b então c divide y d.
Se c divide y d e não divide d, então c divide y.
Se c divide x e y, então existem z e w tais que x=c z e y=c w.
Das conclusões acima temos a=x d=(c z) d=(d c) z e b=y d=(c w) d=(d c) w, portanto, d c divide a e d c divide b.
{ }^{a} isso ajudou a fixar as informações?
(a) Dê um contraexemplo para a afirmação feita no teorema.
(b) Indique o(s) erro(s) na demonstração.

Passo 1

O enunciado afirma que, para a,b,c,d\in\mathbb{N}, se
c\mid a,\quad c\mid b,\quad d\mid a,\quad d\mid b,\quad c\nmid d,
então dc\mid a e dc\mid b.
O conteúdo envolve propriedades de divisibilidade e, em particular, um passo de “cancelamento”: de c\mid x d e c\nmid d pretende-se concluir c\mid x.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta achar a,b,c,d que satisfaçam as hipóteses mas violem a conclusão.
Escolha
a=12,\quad b=24,\quad c=6,\quad d=4.
De fato,
6\mid12,\quad6\mid24,\quad4\mid12,\quad4\mid24,\quad6\nmid4,
porém
dc=4\cdot6=24\nmid12.
Logo a conclusão “ dc\mid a e dc\mid b” falha.

Passo 3

No passo crítico da demonstração suposta usa-se:
“Se c\mid x d e c\nmid d, então c\mid x.”
Isso só é válido quando \gcd(c,d)=1. O autor confunde “ c não divide d” com “ c e d são primos entre si”. Sem garantir \gcd(c,d)=1, não se pode cancelar d num divisível por c.

Resposta

(a) Um contraexemplo é a=12, b=24, c=6, d=4.
(b) O erro está em aplicar o cancelamento de divisibilidade sem que \gcd(c,d)=1; supor apenas c\nmid d não basta para concluir c\mid x de c\mid x d.

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