Exercício 9. (Apostol seção 1.13 exercício 10) Seja Pn o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. Definamos lang<=,rang<=: Pn times Pn R por
lang<= f, grang<==sumk=0^n f(kn) g(kn)
Mostre que:
a) lang<=,rang<=: Pn times Pn R define um produto interno.
b) Calcule lang<= t, a t+brang<=.
c) Ache todos os polinômios ortogonais a t.

Passo 1

O enunciado define em Pn (polinômios de grau <= n) a aplicação
lang<= f,grang<= ;=;sumk=0^nfl(tfracknr),gl(tfracknr)
O conteúdo é produto interno em espaço de polinômios; precisamos mostrar bilinearidade, simetria e positividade definida, depois calcular lang<= t,,a,t+brang<= e descrever todos os polinômios ortogonais a t.

Passo 2

(Linearidade em cada argumento)
Sejam f1,f2,g,hinPn e alpha,betainR. Então
lang<= alpha f1+beta f2,,grang<= =sumk=0^nl(alpha f1(tfrackn)+beta f2(tfrackn)r),g(tfrackn) =alphasumk=0^nf1(tfrackn)g(tfrackn) +betasumk=0^nf2(tfrackn)g(tfrackn) =alphalang<= f1,grang<=+betalang<= f2,grang<=
Analogamente em relação ao segundo argumento.

Passo 3

(Simetria)
Para quaisquer f,ginPn
lang<= f,grang<= =sumk=0^nf(tfrackn),g(tfrackn) =sumk=0^ng(tfrackn),f(tfrackn) =lang<= g,frang<=

Passo 4

(Definitude positiva)
Temos
lang<= f,frang<= =sumk=0^nl(f(tfrackn)r)^2>=0
Se lang<= f,frang<==0, então f(tfrackn)=0 para k=0,1,dots,n. Como um polinômio de grau <= n com n+1 raízes é o polinômio zero, segue fequiv0.

Passo 5

(Cálculo de lang<= t,,a,t+brang<=)
Pela definição,
lang<= t,,a,t+brang<= =sumk=0^nl(tfracknr)l(a,tfrackn+br) =an^2sumk=0^nk^2+bnsumk=0^nk
Sabendo que
sumk=0^nk=n(n+1)2, sumk=0^nk^2=n(n+1)(2n+1)6,
segue
lang<= t,,a,t+brang<= =an^2;n(n+1)(2n+1)6 +bn;n(n+1)2 =a,(n+1)(2n+1)6,n+b,(n+1)2

Passo 6

(Todos os polinômios ortogonais a t)
Um polinômio pinPn é ortogonal a t se e só se
lang<= p,,trang<= =sumk=0^npl(tfracknr),tfrackn =0
Escrevendo p(t)=sumj=0^najt^j, esse é o único vínculo linear
sumj=0^naj,1n^,j+1 sumk=0^nk^,j+1=0
Portanto o subespaço ortogonal a t é
l,pinPn:sumk=0^np(tfrackn),tfrackn=0r,
que tem dimensão n e consiste de todos os polinômios cujos coeficientes aj satisfazem essa única equação linear.

Resposta

a) Já mostrado: lang<=cdot,cdotrang<= é bilinear, simétrica e definida positiva.
b)
lang<= t,,a,t+brang<= =a,(n+1)(2n+1)6,n+b,(n+1)2
c)
,pinPn:sumk=0^np(tfrackn),tfrackn=0

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