Exercício 9. (Apostol seção 1.13 exercício 10) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a
. Definamos
por
Mostre que:
a)
define um produto interno.
b) Calcule
.
c) Ache todos os polinômios ortogonais a
.
a)
b) Calcule
c) Ache todos os polinômios ortogonais a
Passo 1
O enunciado define em
(polinômios de grau
) a aplicação
O conteúdo é produto interno em espaço de polinômios; precisamos mostrar bilinearidade, simetria e positividade definida, depois calcular
e descrever todos os polinômios ortogonais a
.
Passo 2
(Linearidade em cada argumento)
Sejam e
. Então
Sejam
Analogamente em relação ao segundo argumento.
Passo 3
(Simetria)
Para quaisquer
Para quaisquer
Passo 4
(Definitude positiva)
Temos
Temos
Se
, então
para
. Como um polinômio de grau
com
raízes é o polinômio zero, segue
.
Passo 5
(Cálculo de
)
Pela definição,
Pela definição,
Sabendo que
segue
Passo 6
(Todos os polinômios ortogonais a
)
Um polinômio é ortogonal a
se e só se
Um polinômio
Escrevendo
, esse é o único vínculo linear
Portanto o subespaço ortogonal a
é
que tem dimensão
e consiste de todos os polinômios cujos coeficientes
satisfazem essa única equação linear.
Resposta
a) Já mostrado:
é bilinear, simétrica e definida positiva.
b)
b)
c)