Exercício 14 Mostrar que se uma função f admite um limite
quando x tende para x 0 , este limite é único.
Solução : Vamos começar definindo um limite:
Vamos provar pelo absurdo.
Para isso, supomos que existe um
diferente de
tal que f tende também a
em
.
Por definição temos então :
Seja então
qualquer.
Vamos escolher
e
como anteriormente, e vamos definir
.
Segundo a desigualdade triangular :
Mas escolhendo
tal que
, obtemos :
Acabamos então de provar que :
Mas segundo um exercício do capítulo anterior, vimos que isso implicava que
ou que
.
Isso contradiz nossa hipótese, por isso obtemos o resultado.
Para isso, supomos que existe um
Por definição temos então :
Vamos escolher
Segundo a desigualdade triangular :
Mas segundo um exercício do capítulo anterior, vimos que isso implicava que
Isso contradiz nossa hipótese, por isso obtemos o resultado.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, se
e também ,
então necessariamente . Vamos usar a definição de limite e provar por absurdo.
e também
então necessariamente
Passo 2
Pela definição de limite,
Analogamente, como também supomos que o limite é
,
Passo 3
Escolha um
qualquer. Pelas duas definições existem
e
. Defina
Então, para todo
com
, valem simultaneamente
Passo 4
Use a desigualdade triangular para comparar
e
:
Passo 5
Visto que
foi arbitrário, a única forma de manter
para todo
é ter
. Logo
, o que contraria a hipótese de serem distintos.
Resposta
O limite de
quando
é único; isto é, se existe, só pode haver um valor
.