Exercício 12. Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} V. a’s. independentes tais que X_{i} \sim N\left(\mu_{i}, \sigma^{2}{ }_{i}\right), i=1, \ldots, n. Mostre que
\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}\right)^{2} \sim \chi^{2}{ }_{(\mathrm{n}) .}

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},\dots,X_{n} são variáveis aleatórias independentes com
X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}),\quad i=1,\dots,n,
e pede para mostrar que
\sum_{i=1}^{n}\biggl(\frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}\biggr)^{2}\sim \chi^{2}_{(n)}.
O que vamos usar é a propriedade de transformação linear de normais (para obter normais padrão) e a definição da distribuição qui-quadrado como soma de quadrados de normais padrão independentes.

Passo 2

Para cada i, definimos
Z_{i} = \frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}.
Pela propriedade de localização-escala de uma normal, se X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}) então
Z_{i}\sim N(0,1).
Como as X_{i} são independentes, as Z_{i} também são independentes.

Passo 3

Por definição da \chi^{2} de n graus de liberdade, se Z_{1},\dots,Z_{n} são independentes e cada Z_{i}\sim N(0,1), então
\sum_{i=1}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi^{2}_{(n)}.
Como Z_{i}=(X_{i}-\mu_{i})/\sigma_{i}, concluímos que
\sum_{i=1}^{n}\biggl(\frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}\biggr)^{2}\sim \chi^{2}_{(n)}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n}\biggl(\frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}\biggr)^{2}\sim \chi^{2}_{(n)}.

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