Exercício 11 Se x(t)=(3+2 t) e^-t representa uma oscilação amortecida, quais são as condiçoes iniciais? Qual é o regime (ou tipo) dessa oscialação amortecida? Qual é o valor da constante de amortecimento b, sabendo que m=2,5 kg ?

Passo 1

No enunciado, a função
x(t) = (3 + 2t)e^-t
representa uma oscilação amortecida. Vamos precisar de teoria de movimento harmônico amortecido, em que a solução geral de
m,ddot x + b,dot x + k,x = 0
é, conforme o regime de amortecimento, uma combinação de exponenciais; em particular, para amortecimento crítico é da forma (A + B t)e^-b2mt. Precisamos:
  1. Condições iniciais x(0) e dot x(0).
  2. Identificar o regime (sobre, crítico ou subamortecido).
  3. Calcular b sabendo m = 2,5,kg.

Passo 2

Para achar as condições iniciais, avaliamos em t=0:
x(0) = (3 + 2cdot0)e^0 = 3
Agora calculamos dot x(t):
dot x(t) = ddtl[(3+2t)e^-tr] = 2e^-t + (3+2t)(-e^-t) = e^-tl(2 - 3 - 2tr) = e^-tl(-1 - 2tr)
Logo,
dot x(0) = e^0(-1 - 0) = -1

Passo 3

Comparando x(t)=(A + B t)e^-gamma t com (3+2t)e^-t, vemos que gamma = 1 e há fator t de ordem 1 multiplicando a exponencial. Isso caracteriza amortecimento crítico, em que
gamma = b2m

Passo 4

Como gamma=1 e m=2,5,kg, temos
1 = b2m Longrightarrow b = 2m = 2 times 2,5 = 5
A unidade de b é kg/s.

Resposta

As condições iniciais são
x(0)=3, dot x(0)=-1
O regime é amortecimento crítico.
A constante de amortecimento vale
b = 5 kg/s

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