Resolva o problema de valor inicial dado.
4 y^prime prime+y^prime=-6 x, y(0)=0, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
4,y^primeprime+y^prime=-6,x
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=-1.
Esse tipo de problema exige dois passos principais: (i) achar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Depois juntamos tudo e ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
4,y^primeprime+y^prime=0
Assumimos yh=e^r x, o que leva à equação característica
4,r^2 + r = 0 Longrightarrow r,(4r+1)=0
As raízes são r1=0 e r2=-tfrac14. Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1 + C2,e^-x/4

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
4,y^primeprime+y^prime=-6,x
Como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, supomos
yp(x)=A,x^2+B,x+C
Calculamos
yp' = 2A,x + B, yp'' = 2A,
e substituímos na EDO:
4cdot(2A) + (2A,x+B) = -6,x Longrightarrow 8A + 2A,x + B = -6,x
Igualando coeficientes de x e termo constante:
2A = -6 ,Rightarrow, A=-3, 8A + B = 0 ,Rightarrow, B=24
O termo C fica livre e pode ser absorvido em C1, então tomamos C=0. Assim
yp(x)=-3x^2+24x

Passo 4

A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1 + C2,e^-x/4-3x^2+24x
Derivando,
y'(x)=-C24,e^-x/4-6x+24
Impondo y(0)=0
C1 + C2 = 0 Rightarrow C1=-C2
Impondo y'(0)=-1
-C24 +24 = -1 Longrightarrow -C24 = -25 Longrightarrow C2=100,
logo C1=-100.

Resposta

boxedy(x)=100,e^-x/4-3x^2+24x-100

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