Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
Esse tipo de problema exige dois passos principais: (i) achar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Depois juntamos tudo e ajustamos as constantes com as condições iniciais.
Esse tipo de problema exige dois passos principais: (i) achar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Depois juntamos tudo e ajustamos as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea
Assumimos
, o que leva à equação característica
As raízes são
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, supomos
Calculamos
e substituímos na EDO:
Igualando coeficientes de
e termo constante:
O termo
fica livre e pode ser absorvido em
, então tomamos
. Assim
Passo 4
A solução geral é
Derivando,
Impondo
dá
Impondo
dá
logo
.