Exercício 22. Seja M uma superfície C^k. Sejam phi: U longrightarrow phi(U) e phi: V longrightarrow psi(V) parametrizações classe C^k tais que
  • phi(U) e psi(V) são vizinhanças parametrizadas conexas;
  • W:=phi(U) cap psi(V) neq emptyset;
  • det J(psi^-1 circ phi) muda de sinal em phi^-1(W). note que esta condição só pode ocorrer quando phi(U) cap psi(V) não é conexo.
Prove que M não é orientável.

Passo 1

O enunciado trata de uma superfície de classe C^k e de duas parametrizações
phi:Utophi(U) e psi:Vtopsi(V) cujas imagens se sobrepõem em
W=phi(U)cappsi(V)neqemptyset,
mas essa sobreposição não é conexa, e justamente a função de transição
psi^-1circphi:phi^-1(W)topsi^-1(W) tem
det J(psi^-1circphi) contínua, sem zeros, mudando de sinal em
dois componentes distintos de phi^-1(W).
Conteúdo: teoria de orientabilidade de superfícies via atlas e determinantes
das funções de transição. Vamos usar a definição: “ M é orientável se existe
um atlas cujas todas funções de transição têm Jacobiano com determinante positive.”

Passo 2

Lembrando a definição de orientabilidade:
uma superfície M é orientável se existe um atlas (Ui,phii) tal que,
para quaisquer dois índices i,j com phii(Ui)capphij(Uj)neqemptyset,
a transição
phij^-1circphii:phii^-1l(phii(Ui)capphij(Uj)r)to phij^-1l(phii(Ui)capphij(Uj)r)
satisfaz
det Jl(phij^-1circphiir)>0
em toda a parte comum.
Isso garante um campo normal contínuo globalmente bem definido.

Passo 3

No nosso caso temos exatamente duas parametrizações phi e psi
cuja transição
psi^-1circphi é C^k-1 e satisfaz det J(psi^-1circphi)neq0
sempre, mas por hipótese muda de sinal em phi^-1(W).
Como phi^-1(W) não é conexo, existe uma decomposição em dois
componentes abertos e disjuntos
phi^-1(W)=Acup B, Acap B=emptyset,
tal que
det J(psi^-1circphi)>0 em A e
det J(psi^-1circphi)<0 em B.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que M fosse orientável. Então poderíamos ajustar cada
parametrização multiplicando-a, se necessário, por uma involução do plano
(isto é, trocar phi por phicirc R onde R(u,v)=(u,-v)), de modo
que a transição modificada entre phi e psi tivesse determinante sempre
positivo. Mas observe que essa correção muda o sinal de det J(psi^-1circphi)
em toda a phi^-1(W) de uma só vez: ou torna positivos os valores antes
negativos em todo o conjunto, ou torna negativos os valores antes positivos
em todo o conjunto. Não é possível escolher uma “troca de orientação” que
torne positiva a determinante tanto em A quanto em B sem quebrar a
continuidade da correção (pois A e B são disjuntos, mas a correção teria
de ser contínua em toda phi^-1(W)). Logo não há como forçar
det J(psi^-1circphi)>0 simultaneamente em A e em B. Isto
contradiz a exigência para um atlas orientado.

Resposta

M não é orientável.

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