Exercício 22. Seja
uma superfície
. Sejam
e
parametrizações classe
tais que
-
e
são vizinhanças parametrizadas conexas;
-
;
-
muda de sinal em
. note que esta condição só pode ocorrer quando
não é conexo.
Prove que
não é orientável.
Passo 1
O enunciado trata de uma superfície de classe
e de duas parametrizações
e
cujas imagens se sobrepõem em
mas essa sobreposição não é conexa, e justamente a função de transição
tem
contínua, sem zeros, mudando de sinal em
dois componentes distintos de .
Conteúdo: teoria de orientabilidade de superfícies via atlas e determinantes
das funções de transição. Vamos usar a definição: “ é orientável se existe
um atlas cujas todas funções de transição têm Jacobiano com determinante positive.”
dois componentes distintos de
Conteúdo: teoria de orientabilidade de superfícies via atlas e determinantes
das funções de transição. Vamos usar a definição: “
um atlas cujas todas funções de transição têm Jacobiano com determinante positive.”
Passo 2
Lembrando a definição de orientabilidade:
uma superfície é orientável se existe um atlas
tal que,
para quaisquer dois índices com
,
a transição
uma superfície
para quaisquer dois índices
a transição
satisfaz
em toda a parte comum.
Isso garante um campo normal contínuo globalmente bem definido.
Isso garante um campo normal contínuo globalmente bem definido.
Passo 3
No nosso caso temos exatamente duas parametrizações
e
cuja transição
é
e satisfaz
sempre, mas por hipótese muda de sinal em .
Como não é conexo, existe uma decomposição em dois
componentes abertos e disjuntos
cuja transição
sempre, mas por hipótese muda de sinal em
Como
componentes abertos e disjuntos
tal que
em
e
em
.
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
fosse orientável. Então poderíamos ajustar cada
parametrização multiplicando-a, se necessário, por uma involução do plano
(isto é, trocar por
onde
), de modo
que a transição modificada entre e
tivesse determinante sempre
positivo. Mas observe que essa correção muda o sinal de
em toda a de uma só vez: ou torna positivos os valores antes
negativos em todo o conjunto, ou torna negativos os valores antes positivos
em todo o conjunto. Não é possível escolher uma “troca de orientação” que
torne positiva a determinante tanto em quanto em
sem quebrar a
continuidade da correção (pois e
são disjuntos, mas a correção teria
de ser contínua em toda ). Logo não há como forçar
simultaneamente em
e em
. Isto
contradiz a exigência para um atlas orientado.
parametrização multiplicando-a, se necessário, por uma involução do plano
(isto é, trocar
que a transição modificada entre
positivo. Mas observe que essa correção muda o sinal de
em toda a
negativos em todo o conjunto, ou torna negativos os valores antes positivos
em todo o conjunto. Não é possível escolher uma “troca de orientação” que
torne positiva a determinante tanto em
continuidade da correção (pois
de ser contínua em toda
contradiz a exigência para um atlas orientado.